OBM 2007

por iaguete Sáb 18 Jan 2014, 10:39

O número de pares (x,y) de reais que satisfazem o sistema de equações:
x²-xy-y²+1=0
x³-x²y-xy²+x-y+2=0
é igual a:
a) 0 b)1 c)2 d)3 e)4

gabarito: c

por **mauk03** Dom 19 Jan 2014, 14:56

x²-xy-y²+1=0 --> x²-y²=xy-1 (1)
x³-x²y-xy²+x-y+2=0 --> x(x²-y²)-x(xy-1)-y+2=0 (2)

De 1 em 2:
x(xy-1)-x(xy-1)-y+2=0 --> -y+2=0 --> y=2

Substituindo y=2 em 1:
x²-2²=2x-1 --> x²-2x-3=0 --> x=3 ou x=-1

Os pares são, portanto, (3,2) e (-1,2)

Letra c

por iaguete Dom 19 Jan 2014, 16:13

mauk03 escreveu:x²-xy-y²+1=0 --> x²-y²=xy-1 (1)
x³-x²y-xy²+x-y+2=0 --> x(x²-y²)-x(xy-1)-y+2=0 (2)

De 1 em 2:
x(xy-1)-x(xy-1)-y+2=0 --> -y+2=0 --> y=2

Substituindo y=2 em 1:
x²-2²=2x-1 --> x²-2x-3=0 --> x=3 ou x=-1

Os pares são, portanto, (3,2) e (-1,2)

Letra c

A solução bateu e tal, mas surgiu uma duvida: eu posso realmente dizer que aquela diferença de diversos fatores , cada fator é igual a 0??? .. pelo que eu saiba, para que isso ocorresse, teria quer ser um produto de todos os fatores do lado esquerdo , ai daria para pegar cada fator e igualar a 0. É essa a duvida.

por **mauk03** Dom 19 Jan 2014, 22:03

Em que parte da minha resolução vc acha que eu fiz isso? Tudo que eu fiz foi usando apenas as equações do sistema, em nenhum momento eu igualei a zero algo que não deveria. E não, vc não pode dizer, na diferença de dois fatores, que ambos são iguais a zero.

por iaguete Dom 19 Jan 2014, 22:06

mauk03 escreveu:Em que parte da minha resolução vc acha que eu fiz isso? Tudo que eu fiz foi usando apenas as equações do sistema, em nenhum momento eu igualei a zero algo que não deveria. E não, vc não pode dizer, na diferença de dois fatores, que ambos são iguais a zero.

My bad man ! eu nao prestei a devida atenção, agora q fui parar para ver q tu pos em evidencia o xy-1 e ficou x-x , logo 0. Obrigado pela ajuda.