AFA 2007
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AFA 2007
por eestudo2 Qua 05 Dez 2018, 16:41
Considere um triangulo retângulo inscrito numa circunferência de raio R, tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede em cm, R/m (m>1). Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triangulo em torno da hipotenusa, em cm³ é dado por:
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Re: AFA 2007
por paulinoStarkiller Qua 05 Dez 2018, 18:17
Olá, tudo bem?
Chamando por C o ponto médio da hipotenusa e, consequentemente, o centro da esfera, teremos a seguinte relação: CY² = WC² + WY² --> R² = (R - R/m)² + WY² --> WY² = R²(1 -((m-1)/m)²).
O volume resultante será o volume da esfera menos o volume dos dois cones gerados pela
rotação do triângulo em torno da hipotenusa --> Vr = 4∏R^3/3 - R∏/3m*R²(1 -((m-1)/m)²) - ∏/3(2R - R/m)*R²(1 -((m-1)/m)²)
--> Podemos colocar o R²(1 -((m-1)/m)²) em evidência e teremos o seguinte: Vr = 4∏R^3/3 - R²(1 -((m-1)/m)²)∏/3(2R - R/m + R/m)
--> Vr = 4∏R^3/3 - 2∏R^3/3*(1 -((m-1)/m)²)
---> Vr= 2∏R^3/3 + 2∏R^3/3*(m-1)/m)² ---> Vr=2∏R^3/3 * (1 + (m-1)/m)²)
Abraços
Chamando por C o ponto médio da hipotenusa e, consequentemente, o centro da esfera, teremos a seguinte relação: CY² = WC² + WY² --> R² = (R - R/m)² + WY² --> WY² = R²(1 -((m-1)/m)²).
O volume resultante será o volume da esfera menos o volume dos dois cones gerados pela
rotação do triângulo em torno da hipotenusa --> Vr = 4∏R^3/3 - R∏/3m*R²(1 -((m-1)/m)²) - ∏/3(2R - R/m)*R²(1 -((m-1)/m)²)
--> Podemos colocar o R²(1 -((m-1)/m)²) em evidência e teremos o seguinte: Vr = 4∏R^3/3 - R²(1 -((m-1)/m)²)∏/3(2R - R/m + R/m)
--> Vr = 4∏R^3/3 - 2∏R^3/3*(1 -((m-1)/m)²)
---> Vr= 2∏R^3/3 + 2∏R^3/3*(m-1)/m)² ---> Vr=2∏R^3/3 * (1 + (m-1)/m)²)
Abraços
Última edição por paulinoStarkiller em Qua 05 Dez 2018, 22:09, editado 1 vez(es)
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