Coordenadas Esféricas - Integral Tripla

por Convidado 14/12/2013, 12:18 am

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 23 - Pág.: 931)
Utilize coordenadas esféricas.

Calcule $\iiint_E (x^2+y^2)dV$ , onde E está entre as esferas x²+y²+z²=4 e x²+y²+z²=9.

Resposta: $1,688\pi/15$

por Matheus Fillipe 18/12/2013, 10:48 pm

Fazendo as transformações para as coordenadas esféricas, teremos:

$Coordenadas Esféricas - Integral Tripla 25a69b5b27f5395a0feca51fe0213c5a$
$Coordenadas Esféricas - Integral Tripla 055d597813ff743caae1577bc4faf165$
$Coordenadas Esféricas - Integral Tripla 88c240e7877561c74d9793f1e3f6d471$

$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^4 sen(\phi)^3dr d\theta d\phi=2 \pi \frac{r^5}{5}|_2^3 \int_{0}^{\pi} sen(\phi)^3d\phi= 422 \pi/5 \int_{0}^{\pi} sen(\phi)^3d\phi$

A última integral dá 4/3, garantindo seu gabarito. Caso tenha alguma dúvida nela:

$\int_{0}^{\pi}sen^3{\phi}d\phi=\int_{0}^{\pi}(1-cos^2{\phi})sen(\phi)d\phi=\int_{0}^{\pi}sen(\phi)d\phi-\int_{0}^{\pi}cos^2(\phi)sen(\phi)d\phi$

Para a última, integrando por partes:

$\int_{0}^{\pi}cos^2(\phi)sen(\phi)d\phi=-cos(\phi)^3|_0^\pi-2\int _0^{\pi}sen(\phi)cos^2(\pi)d\phi\;\;\;==>\;\;3 \int_{0}^{\pi}cos^2(\phi)sen(\phi)d\ph=2$

A integral resulta em 2/3 e por fim:

$2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

por Convidado 21/12/2013, 1:15 pm

O professor resolveu essa questão, olha aí:
Coordenadas Esféricas - Integral Tripla 8szr

Coordenadas Esféricas - Integral Tripla Ybzw

Coordenadas Esféricas - Integral Tripla 34o8

por Matheus Fillipe 22/12/2013, 2:39 pm

Eu fiz exatamente a mesma coisa, de uma forma mais resumida.

por Convidado 22/12/2013, 4:43 pm

Sim, por estar mais detalhada a resolução, postei apenas a título de no futuro ajudar outros membros que possam vir a pesquisar. Postei em outros fóruns também e se chegou a mesma resolução ou conclusão.