Inequação logaritmica

por Minoanjo Seg 30 Set 2013, 09:09

Alguém pode me ajudar com esta questão de logaritmo? O símbolo >= -1, na inequação, significa "maior ou igual a -1" (eu não soube representar de outra forma). Agradeço desde já.

log_1/3 (x²-2x) >= -1

por **ivomilton** Seg 30 Set 2013, 10:25

Minoanjo escreveu:Alguém pode me ajudar com esta questão de logaritmo? O símbolo >= -1, na inequação, significa "maior ou igual a -1" (eu não soube representar de outra forma). Agradeço desde já.

log_1/3 (x²-2x) >= -1

Bom dia,

log_1/3 (x²-2x) >= -1 significa que:

(1/3)^(-1) ≥ x² - 2x

Ora, (1/3)^-1 é igual ao inverso de 1/3;portanto, igual a 3.
3 ≥ x² - 2x
x² - 2x ≤ 3
x² - 2x - 3 ≤ 0

Raízes:
x' = 3
x" = -1

Como o 1º membro deve ser zero ou menor que zero, a solução está entre as raízes:
-1 ≤ x ≤ 3 ............. (I)

Por se tratar de logaritmo, devemos ter:
x² - 2x > 0
x(x - 2) > 0

Solução:
x<0
x>2

Interseção entre as raízes supra:

0 > x > 2 ...................... (II)

Interseção entre (I) e (II):

-1 ≤ x < 0

2 < x ≤ 3

Um abraço.

por JuniorE Seg 30 Set 2013, 10:30

$\\log_\frac{1}{3}(x^2-2x)\geq -1\\\\log_\frac{1}{3}(x^2-2x)\geq log_\frac{1}{3}\frac{1}{3}^{-1}$

Para tirar do log, devemos inverter o sinal da desigualdade, pois a base está entre zero e um.

$\\(x^2-2x)\leq\frac{1}{3}^{-1}\\\\x^2-2x-3\leq 0\Rightarrow -1\leq x\leq3$

Sem esquecer da condição do logaritmo:

$x^2-2x>0\\\\x<0\,\,ou\,\,x>2$

Fazendo a intersecção:

$-1\leq x<0\,\,ou\,\,2<x\leq 3$

por JuniorE Seg 30 Set 2013, 10:30

Não vi que já tinha postado Ivo Smile

por **ivomilton** Seg 30 Set 2013, 10:54

engjr escreveu:Não vi que já tinha postado Ivo

Bom dia, engir.

Foi bom não ter me visto, pois ao verificar as condições de existência do log, havia considerado apenas x>0, o que não era o correto.

Assim, fico muito agradecido por sua postagem!

Um abraço.