(UFSE) - Sistemas Homogêneos
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(UFSE) - Sistemas Homogêneos
por andrerocha Sex 30 Ago 2013, 10:56
(UFSE) - Analise a frase
"O sistema
kx+y+z=0
x+ky-z=0
x-y+kz=0
nas variáveis x,y e z admite apenas a solução trivial se, e somente se, k ≠ -1.
Colocando o K na matriz e tirando o determinante tenho k³-3k-2=D entretanto não consigo avançar minha resolução e continuar analisando a frase.
"O sistema
kx+y+z=0
x+ky-z=0
x-y+kz=0
nas variáveis x,y e z admite apenas a solução trivial se, e somente se, k ≠ -1.
Colocando o K na matriz e tirando o determinante tenho k³-3k-2=D entretanto não consigo avançar minha resolução e continuar analisando a frase.
andrerocha- Iniciante
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Re: (UFSE) - Sistemas Homogêneos
por Elcioschin Sex 30 Ago 2013, 18:01
D = k³ - 3k - 2
Quando D = 0 o sistema não tem solução trivial
Prováveis raízes racionais de D ----> ±1, 2
Testando, descobre-se que k = -1 e k = 2 são raízes ----> D = (k - 2).(k + 1)²
Assim, para k = 2 ou k = - 1 o sistema NÃO tem solução trivial
Logo, a frase é falsa:
Seria correta se fosse assim: "admite apenas a solução trivial se, e somente se, k ≠ - 1 e k ≠ 2"
Quando D = 0 o sistema não tem solução trivial
Prováveis raízes racionais de D ----> ±1, 2
Testando, descobre-se que k = -1 e k = 2 são raízes ----> D = (k - 2).(k + 1)²
Assim, para k = 2 ou k = - 1 o sistema NÃO tem solução trivial
Logo, a frase é falsa:
Seria correta se fosse assim: "admite apenas a solução trivial se, e somente se, k ≠ - 1 e k ≠ 2"
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (UFSE) - Sistemas Homogêneos
por Luck Sex 30 Ago 2013, 18:23
Olá Elcio, a afirmação é falsa, mas acho que vc confundiu a definição.. esse sistema admite solução trivial independente de k pois é homogêneo. Solução trivial é quando admite (0,0,0) como solução, portanto todo sistema homogêneo admite solução trivial. Então para que esta solução seja única devemos ter ∆ # 0 (S.P.D) , o que nos dá k # -1 e k# -2, logo a afirmação é falsa. Se ∆ = 0 : k = -1 ou k =-2 , como já admite solução trivial, teríamos infinitas soluções (S.P.I).
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