Perpendicularidade entre retas e planos

por Aguiar Qui 18 Jul 2013, 20:09

Seja r uma reta perpendicular a um plano α em P, s uma reta contida em α e PQ perpendicular a s em Q. Mostre que se A é um ponto qualquer de r, então a reta AQ é perpendicular a s.

por Gabriel Rodrigues Sex 19 Jul 2013, 19:07

Seja B o plano determinado pelas retas r e x = PQ (elas determinam um plano, pois são concorrentes).

B = (r,x)

É igualmente válido notar que AQ está contido em B, pois:

A está contido em r -> r está contido em B -> A está contido em B
Q está contido em PQ = x -> x está contido em B -> Q está contido em B

Pelo postulado da inclusão, AQ está contido em B.

Se r é perpendicular ao plano A, e s está contido nesse plano, então r e s formam ângulo reto (ortogonais).
Da hipótese, x é perpendicular a s em Q.

Assim, s forma um ângulo reto com duas retas concorrentes do plano A (x e r). Por definição, s é perpendicular a B. Se AQ está contido em B, s, por ser concorrente com AQ, é perpendicular a esse segmento, c.q.d.

Esse aí é o Teorema das Três Perpendiculares cheers