Retas e planos

E ai pessoal.

Preciso de uma ajuda para enxergar o por que dessas três afirmações serem falsas:

I) Se dois planos forem perpendiculares, então todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro
( Essa eu creio que entendi, mas agradeço se puderem dar um exemplo para ver se condiz com o meu)

II) Se duas retas forem ortogonais, então toda reta que forma ângulo reto com uma delas será paralela a outra.

III) Duas retas distintas determinam um plano.

Agradeço desde já, tenho uma dificuldade tremenda em enxergar alguns casos de planos com retas, apesar de na maioria deles eu ter certa facilidade.

I) Se dois planos forem perpendiculares, então todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro
( Essa eu creio que entendi, mas agradeço se puderem dar um exemplo para ver se condiz com o meu)
Considere o triedro 0xyz.
Considere os planos x0y e x0z que são perpendiculares.
Ora, pela própria construção, o plano y0z é perpendicular a AMBOS; portanto existe pelo menos um plano (o y0z) que é perpendicular a um dos anteriores e NÃO é paralelo ao outro.


II) Se duas retas forem ortogonais, então toda reta que forma ângulo reto com uma delas será paralela a outra.
Considere a reta da abscissas (eixo x).
E considere a reta y+z=1, com x=0 (está no plano y0z) -- reta r. E r é ortogonal ao eixo x.
Ora, o eixo das ordenadas (eixo y), por exemplo, é perpendicular ao eixo x (formam ângulo reto) mas não o é à reta r.


III) Duas retas distintas determinam um plano.
Se as retas forem ortogonais elas NÃO definem um plano -- ficaria um plano torcido.
Para definir um plano devemos ter:
- três pontos distintos,
- uma reta e um ponto não pertencente a ela,
- duas retas concorrentes,
- duas retas paralelas.
(é o que lembro).

Obrigada, Medeiros. Minha dúvida era mais na última. Pensei que selecionando apenas um ponto de uma reta e duas da outra já seria suficiente, mas obviamente não é.

Bastante útil, obrigada por ter me ajudado esses dias.

Pensei que selecionando apenas um ponto de uma reta e duas da outra já seria suficiente, mas obviamente não é.

Mas é claro que é. Assim fazendo você tem três pontos distintos, logo tem um plano. Acontece que se as retas forem reversas, este plano não conterá aquela da qual foi extraído somente um ponto -- pq. esta última reta furaria o plano justamente no ponto escolhido.