Combinação Simples

Em uma escola, temos seis professores de matemática, cinco de física e três de química. 
Quantas são as comissões de sete professores que podemos formar com esses 14 professores se pelo menos 5 deles devem ser de matemática?

R: 176

Bia,

A questão se trata de comissões, o que nos remete a grupos onde a ordem não é significativa.

Veja que dentre os 7 professores, "pelo menos" 5 precisam ser de matemática. Ou seja, o enunciado nos diz que entre os 7 podem ter 5 professores de matemática ou até mesmo 6 professores de matemática.

Considerando apenas 5 de matemática inicialmente, temos:

MMMMMFF -> C 5,6 x C 2,5 = 60
ou
MMMMMQQ -> C 5,6 x C 2,3 = 18
ou
MMMMMFQ -> C 5,6 x C 1,5 x C 1,3 = 90

Agora considere ter 6 professores de matemática nesse grupo, restando apenas uma vaga a ser completada:

MMMMMMQ -> C 6,6 x C 1,5 = 5
ou
MMMMMMF -> C 6,6 x C 1,3 = 3

Logo:

60 + 18 + 90 + 5 + 3 = 176.

Olá:
Poderíamos simplificar:
com 5 professores de Matemática: C(6,5)*C(8,2)=6*28=168;
com 6 professores de Matemática: C(6,6)*C(8,1)=1*8=8.
Total:168+8=176.
Um abraço.