Método de indução!!

O enunciado é esse aqui:

Demonstrar que 1.2+2.3+3.4+...+ (n-1).n= (n-1).n(n+1)/3


Não compreendi a resolução do livro, alguém pode explicar de uma forma mais detalhada? Obrigadona!!

Olá,
Um segundo tópico foi desnecessário, mas vamos lá.

Seria bom você esclarecer o que não entendeu na resolução do livro, se foi a álgebra ou talvez a parte teórica da indução.

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Para demonstrar pelo PIF, primeiramente você deve testar a validade para o primeiro valor de n.

de fato,
para n = 2
1.2 = 1.2.3/3
2 = 2 
OK

Agora, devemos supor verdade para um n qualquer igual a k. Se conseguirmos provar, a partir disso, que também é valido para n = k +1, então será valido para qualquer valor de n.

1.2 + 2.3 +3.4 + ... + (k - 1)k = (k - 1)k(k + 1)/3
OK

Queremos provar que:

1.2 + 2.3 +3.4 + ... + (k - 1)k + k(k + 1)= (k)(k + 1)(k + 2)/3

Porém, sabemos o valor da parte vermelha destacada:

(k - 1)k(k + 1)/3 + k(k + 1)

Vamos trabalhar só a parte esquerda e ver se chega na parte da direita:
(k - 1)k(k + 1)/3 + k(k + 1) = [(k - 1)k(k + 1) + 3k(k + 1)]/3 
colocando "k(k + 1)" em evidencia
= k(k + 1)(k - 1 + 3)/3 = (k)(k + 1)(k + 2)/3

Repare que conseguimos chegar no que se queria provar.
cqd

(a resolução ficou feia por causa da explicação)