geo plana

Ae pessoal to com problemas nessa questao do morgado dois, se alguem pudesse me ajudar queria a resolucao dela por retas paralelas, bissetrizes e esses teoremas mais simples. Encontrei uma resoluçao que envolvia teorema da ceva, mas como nao ha esse.teorema no livro, suponho q haja outra resoluçao.
Em um triângulo ABC de lados AB=15, AC=6 e BC=14, seja I o ponto de concurso das bissetrizes internas AD e BE.

a)Encontre a razão IA/ID .
Resposta : 3/2

1) Pelo teorema da bissetriz interna , temos que no triângulo ABC , 15/BD = 6/CD ----> BD = (5CD)/2

2) BC = BD + CD ---> 14 = (5CD)/2 + CD -----> CD = 4 , logo BD = 10

3) Pelo teorema da bissetriz interna , temos que no triângulo ABD , 15/AI = 10/ID ----> AI/ID = 3/2

Nossa obrigado ajudou muito!!

Dá para fazer uma generalização legal.

Generalização: "Sendo ABC um triângulo, I seu incentro e la, lb e lc as medidas de suas bissetrizes, então:
IA/la = (b + c)/P, IB/lb = (a + c)/P e IC/lc = (a + b)/P, onde P é o perímetro do triângulo."

Demonstração:




Pelo teorema da bissetriz interna, tem-se que: BX/AB = CX/AC = (BX + CX)/(AB + AC) = BC/(AB + AC) =>
=> BX = (a.c)/(b + c).
Analogamente, no triângulo ABX: IA/AB = IX/BX = (IX + IA)/(BX + AB) = la/(BX + AB) =>
=> IA/la = AB/(BX + AB) = c/[(a.c)/(b + c) + c] <=> IA/la = (b + c)/(a + b + c) = (b + c)/P .
Obs: As outras relações são demonstradas de forma totalmente análoga.
C.q.d

Resolução do problema proposto nesse tópico através da generalização:

IA/la = (b + c)/(a + b + c) => la/IA = (a + b + c)/(b + c) => (AI + ID)/IA = (a + b + c)/(b + c) <=>
<=> IA/ID = (b + c)/a =>
=> IA/ID = (6 + 15)/14 = 21/14 = 3/2

Excelente solução JOAO[ITA] .