geo plana

Em um triângulo ABC, a bissetriz interna de  encontra BC em D e o círculo circunscrito em E. Se AB = 8, AC = 6 e DE = 3, calcule o comprimento da bisstriz AD.
O gabarito é 9.

Para o gabarito ser 9, temos que ter :AB=18 AC=6 , confira os dados.

att

Dá uma equação do segundo grau com raízes feias.
No livro (Morgado) está AB = 8 mesmo. Mas não é o primeiro erro que encontro nesse livro...

Também podemos fazer por semelhança (ΔACE ~ ΔADB):

Já que AD é uma bissetriz e os ângulos ÂBC e AÊC são iguais (pois enxergam o mesmo arco), os ângulos ÂDB e ÂCE também serão iguais (pois são os ângulos que sobram de seus respectivos triângulos). Portanto:

(AD + 3)/18 = 6/AD

Resolvendo a equação do segundo grau, encontraremos AD = 9.

Pré-Iteano, pelos ângulos que você cita, não enxerguei quais são os triângulos semelhantes; você poderia indica-los para mim?

Medeiros, os triângulos semelhantes seriam o ACE e o ADB.

Obrigado. Sim, perfeito, são de fato.

Só que o modo como você escreveu deu a impressão de que os ângulos A^DB e A^CE são iguais por enxergarem o mesmo arco! Porém somente podemos concluir que esses dois ângulos são iguais porque são os terceiros ângulos (os que sobram) de dois triângulos já sabidos semelhantes.

Na verdade, podemos concluir que esses triângulos são semelhantes devido aos seguintes dois ângulos iguais:
-- A^BC e A^EC, que enxergam o mesmo arco, e você citou;
-- B^AE e C^AE, formados pela bissetriz (dado do enunciado).

Excelente!

Adicionei um adendo, em vermelho, para que fique mais claro. 

Boa noite,

Estive tentando fazer esse exercício e realmente não consegui chegar ao gabarito. Mas confio muito no professor A. C. Morgado. Então fui procurar na internet

De acordo com a modificação feita por Raimundo Pereira, é possível que os dados do problema estejam errados.

Entretanto ao fazer AB=18 e utilizar o teorema da bissetriz interna, teremos o seguinte:
Considerando que BD=18k e DC=6k
O ponto D sendo a interseção entre as cordas AE e BC
Com o gabarito sendo AD=9, temos:

18k*6k=9*3  -->  k=(1/2)

Portanto BD=9 e DC=3, totalizando o lado BC=12

Porém a condição de existência para um triângulo qualquer diz que o lado deve ser menor que a soma dos outros dois e também maior que o módulo da diferença dos outros dois.
Nesse caso ao comparar BC=12 com a diferença, em módulo, entre AB=18 e AC=6 --> 12=12. Sendo assim, esse triângulo com lados 18, 6 e 12 não existe.

Obrigado,
R. de Souza