maior valor inteiro

O maior valor inteiro que verifica a inequação x.(x-1).(x-4)<2.(x-4) é:
resposta: primo

x.(x - 1).(x - 4) < 2.(x - 4)

(x² - x).(x - 4) - 2.(x - 4) < 0 ----> (x - 4) em evidência

(x² - x - 2).(x - 4) < 0

a) x² - x - 2 = 0 ----> Raízes: x = -1 e x = 2 ----> Negativo entre as raízes (parábola com concavidade voltada para cima)

b) x - 4 = 0 ----> Raiz: x = 4


Quadro de sinais

........................... -1 ................ 2 .....................4 ...................
a) ..........+ .......... 0 ...... - ...... 0 ........ + .................... +........
b) ......... - ..................... - ................... - .......... 0 ...... +........

Total ,,, - ........... 0 ..... + ...... 0 ........ - ........... 0 ...... + ......

Solução ----> x < -1 ouu 2 < x < 4 -----> Maior valor inteiro ----> x = 3 ----> primo

valeu

Não podemos cortar jamais o (x-4) pelo fato de que se x<4 a inequação muda o sinal da desigualdade. Estou certo?

Exato: numa inequação NUNCA se deve dividir ou multiplicar os dois membros por uma expressão que contenha uma variável. Isto porque:

1) Se a expressão for negativa, será necessário inverter o sinal da inequação e se a expressão for positiva o sinal deverá ser mantido.

2) Se a expressão for nula, ai é que não se pode dividir mesmo, porque a divisão por zero é proibida.

 Acontece que, a priori, não sabemos se a expressão é positiva, negativa ou nula.

Numa equação também não se pode fazer isto porque estará sendo desprezada uma solução.

Exemplo: (x - 2).(x - 4) = x - 4

a) Dividindo por (x - 4) ---> x - 2 = 1 ---> x = 3 ---> Uma única solução

2) (x - 2).(x - 4) - (x - 4) = 0 ---> (x - 4).[(x - 2) - 1] = 0 ---> (x - 4).(x - 3) = 0 ---> x = 4 e x = 3 ---> Duas soluções válidas

E se a divisão já vier pronta como em (x^2-7x+12)/(x-3)>0 .:. (x-3)(x-4)/(x-3)>0 podemos cortar o (x-3) sem problema algum?

Neste caso pode.