Identidade trigonométrica

por mahriana Dom 03 Fev 2013, 12:27

Demonstre que se A, B e C são angulos internos de um triangulo, vale a relação:

$\mathbf{cos^2\,A+cos^2\,B+cos^2\,C=1-2\cdot cos\,A \cdot cos\, B \cdot cos\,C}$

por **Robson Jr.** Dom 03 Fev 2013, 13:42

C = π - (A+B):

$\small cos^2A+cos^2B+cos^2(\pi-(A+B))=1-2cosA.cosB.cos(\pi-(A+B)) \\ \Leftrightarrow \ cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)=1+2cosA.cosB.cos(A+B)$

Fazendo cos(A+B) = cosAcosB - senAsenB e cancelando termos em comum:

$\small cos^2A+cos^2B+sen^2Asen^2B=1+cos^2Acos^2B$

Substituindo sen²A = 1 - cos²A e sen²B = 1 - cos²B:

$\small cos^2A+cos^2B+(1-cos^2A)(1-cos^2B)=1+cos^2Acos^2B \\ \Leftrightarrow \ 1+cos^2Acos^2B=1+cos^2Acos^2B \ _{\blacksquare}$

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