(IMO - 95) Números reais positivos

por Nat' Seg 31 Dez 2012, 09:04

Relembrando a primeira mensagem :

Se a,b e c são números reais positivos e a.b.c = 1 prove que $(IMO - 95) Números reais positivos - Página 3 Gif$ .

por **fantecele** Qua 23 Jan 2019, 00:38

$\\(I)=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq 1$

Primeiro vamos manipular um pouco (I). Multiplicando e dividindo por b²c² a primeira fração, a²c² a segunda fração e a²b² a terceira fração de (I) (perceba que fazendo isso não irá alterar nada, já que o que fizemos é a mesma coisa que multiplicar por 1), lembrando que a.b.c = 1.

$\\\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\\\\frac{b^2c^2}{a^3b^2c^2(b+c)}+\frac{a^2c^2}{b^3a^2c^2(a+c)}+\frac{a^2b^2}{c^3a^2c^2(a+b)}\\\\\frac{b^2c^2}{a(b+c)}+\frac{a^2c^2}{b(a+c)}+\frac{a^2b^2}{c(a+b)}\\\\\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}=(II)$

Sendo (I) igual a (II), temos que, para mostrar que aquela desigualdade presente em (I) ser verdadeira basta mostrar que:

$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}\geq \frac{3}{2}$

Aplicando "Titu's lemma":

$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}\geq \frac{(ab+ac+bc)^2}{2(ab+ac+bc)}=\frac{ab+ac+bc}{2}\,\,\,\,(III)$

Usando a desigualdade AM - GM, e lembrando que a.b.c=1:

$\\\frac{ab+ac+bc}{3}\geq \sqrt[3]{ab.ac.bc}=\sqrt[3]{(abc)^2}=1\\ab+ac+bc\geq 3\\\\\frac{ab+ac+bc}{2}\geq \frac{3}{2}$

De (III) temos que:

$\\\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}\geq \frac{ab+ac+bc}{2}\geq \frac{3}{2}\\\\\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}\geq \frac{3}{2}$

Portanto fica provado que:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

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