Mediana de Euler

por puiff Seg 22 Out 2012, 16:14

No trapézio representado a seguir, MN é mediana, m(A^DC)=60° e m(B^CD)=30°

Determine MN, PQ e BD

gabarito: MN=12, PQ=4 e BD=4√7

Mediana de Euler Medianadeeuler

por **Elcioschin** Seg 22 Out 2012, 18:08

Estão faltando dados: quanto valem as bases do trapézio?

MN = (AB + CD)/2

PQ = (CD - AB)/2

Trace as alturas AA' = BB' = h e sejam DA' = x e CB' = y

tg60º = h/x ----> x = h/\/3 ---> x = h*\/3/3
tg30º = h/y ----> y = h/(\/3/3) ----> y = h*\/3

x + y = CD - AB ----> h*\/3/3 + h*\/3 = CD - AB ----> (4*\/3/3)*h = CD - AB ----> h = (\/3/4)*(CD - AB)

No triângulo retângulo BB'D -----> BD² = h² + (x + A'B')² ----> Substitua h, x e faça A'B = AB e calcule BD

por puiff Qua 24 Out 2012, 12:50

Os valores das bases do trapézio não foram informados mestre Elcioschin, os dados fornecidos são apenas os que constam no enunciado.
Eu consegui encontrar o valor da base DC através de uma relação de semelhança, não sei se está certo:

DC/AB=DA/MA
DC/8=4/2
DC=16

por **Elcioschin** Qua 24 Out 2012, 13:34

Entáo você advinhou as medidas:

De onde você descobriu que AB = 8 e DA = 4 ?

Estes dados NÃO existem no enunciado !!!!

por puiff Qua 24 Out 2012, 14:10

Nossa, realmente, esqueci de colocar no desenho, apenas li o enunciado, vou consertar isso, queira perdoar minha distração mestre Elcioschin.

por **Elcioschin** Qua 24 Out 2012, 15:29

puiff

Você calculou corretamente o valor de CD.

Calcule agora MN, PQ e BD conforme minha mensagem anterior.

por **raimundo pereira** Qua 24 Out 2012, 15:39

Puiif,
Baixe as perpendiculares de A e B sobre a base DC, chamando de H e H'.
Veja que os triângulos AHD e BH'C são retângulos com ângulos 30°, 60° e 90° e mesma altura igual a H=2V3.
Apicando pitâgoras em AHD temos HD=2 e, em BH'C temos H'C=2*V3*V3=6, consequentemente DC = 8+2+6¨=16cm
Base média =MN= (AB+BC)/2=(16 +8 )/2=12 cm

Mediana de Euler (DC-AB)/2

Segmento BD - aplique Pitágoras no triângulo BHD BD²=(8+2)² +(2V3)²

Att