Questão - Funções Trigonométricas

por lucasbridi147 Dom 07 Out 2012, 17:43

Se os números reais α e β, com α + β = 4π/3, 0 ≤ α ≤ β, maximizam a soma sen(α) + sen(β), então α é igual a:

Gabarito: 2π/3

por Luck Dom 07 Out 2012, 22:16

α + β = 4pi/3
β = 4pi/3 - α
senβ = sen(4pi/3 - α)
senβ = sen4pi/3.cosα - senα.cos4pi/3
senβ = (-V3/2)cosα + senα/2
sendo 0 = < α = < βe α + β = 4pi/3 , entao α = < 2pi/3

seja y o máximo de senα + senβ, temos:
y = senα + sen(4pi/3 - α)
y = senα + senα/2 - V3/2cosα
y =( 3senα - V3cosα) / 2
2y = 3senα - V3cosα
aplicando o truque do triângulo retângulo :
2y = 2V3(3/2V3 senα - V3/2V3 cosα )
y = V3 (V3/2 senα = 1/2 cosα )
y = V3sen(α - pi/6)
y é máximo quando sen(α - pi/6) = 1
α - pi/6 = pi/2 --> α = 2pi/3