CN 2003 - Algebra

Relembrando a primeira mensagem :

Se o número natural expresso por a² + b², b≠ 0, é primo, então a é:

a) o antecedente de b
b) o consequente de b
c) múltiplo de b
d) divisor de b
e) um número par

Olá a todos, parabéns pelo excelente fórum, passando por aqui resolvi dar a minha opinião.

Primeiramente gostaria de alertar que faço as soluções seguindo o gabarito oficial e muitas vezes me baseio em provas originais (muitas impressas) no máximo cópia de originais que foram aplicadas.

Acho que os pontos cruciais, dessa questão, era perceber que a² - b² = (a + b) * (a - b) e que b é diferente de zero. Então necessariamente a tem que ser diferente de zero.

Para a² - b² = (a + b) * (a - b) ser primo temos que ter:  a + b = 1  ou a - b = 1

Dê: a + b = 1 => a = 1 - b não serve, pois, a seria zero ou negativo.

Assim é claro que a - b = 1  => a = b + 1

Abaixo segue o extrato da minha solução.

Outro modo
Note que: seja a² - b² = p, um primo qualquer

Como  a² - b² = p * 1  ou  (a + b) * (a - b) = p * 1

=> a + b = p  e  a - b = 1  resolvendo o sistema, temos:

a = (p + 1)/2  e  b = (p - 1)/2

Observe que b pode ser escrito como:

b = (p - 1)/2 + 1/2 - 1/2 = (p + 1)/2  - 1

Isto é, b = a - 1  ou  a = b + 1 o que caracteriza que a é o consequente de b.

Um forte abraço,

prof. Carlos Loureiro.