Divisibilidade por 100

por Nat' Qui 12 Jul 2012, 19:00

Bom, essa é mais uma daquelas questões de divisibilidade que eu não consigo fazer! Alguém pode me ajudar?

Prove que (11 "elevado à" 10 - 1) é divisível por 100.

Agradeço desde já!

por **Robson Jr.** Qui 12 Jul 2012, 21:33

Olhe para a expansão de (10+1)^10 através do binômio de Newton:

$\small \\ (10+1)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}10^{n-k}.1^k=\binom{10}{1}10^{10}+\binom{10}{2}10^9+...+\binom{10}{8}.10^2+\binom{10}{9}10 +1 \\\\$

Todas os termos de 10^10 até 10^2 são múltiplos de 100.
Veja que C(10,9) = 10, o que também torna C(10,9).10 múltiplo de 100.

Ao fazermos 11^10 - 1, jogamos fora aquele 1 lá do final e só fica sobrando múltiplo de 100.

A soma de múltiplos de 100 é sempre outro múltiplo de 100. Logo 100|(11^10 - 1)

CqD

por **Euclides** Qui 12 Jul 2012, 21:34

por **ivomilton** Qui 12 Jul 2012, 21:52

Nat' escreveu:Bom, essa é mais uma daquelas questões de divisibilidade que eu não consigo fazer! Alguém pode me ajudar?

Prove que (11 "elevado à" 10 - 1) é divisível por 100.

Agradeço desde já!

Boa noite, Nat.

Para se multiplicar um número por 11, podemos fazer assim:

11 * 11
Começamos escrevendo o último 1, que será a casa das unidades;
a seguir, somamos os dois "1" do 11, totalizando 2;
e por último, escrevemos o último algarismo, o "1".
E teremos assim formado o produto 121.

121*11
Escrevemos o 1 final;
escrevemos 1+2=3;
escrevemos 2+1=3;
finalmente o último 1.
Formando 1331.

1331*11
Final = 1;
3+1 = 4;
3+3 = 6;
1+3 = 4;
último=1
Formando 14641.
Etc.

Então dá para se perceber claramente que a sequência das "dezenas" das potências:
11¹ = 11
11² = 121
11³ = 1331
11⁴ = 14641
11⁵= ......51
11⁶= ......61
11⁷= ......71
11⁸= ......81
11⁹= ......91
11¹º=.....01

Compare as unidades dos expoentes de 11 com a casa das dezenas das respectivas potências:
1 → 1
2 → 2
3 → 3
........
9 → 9
0 → 0 → (zero do 10)

E como todas as potências terminam em 1, a dezena da 10ª potência termina em "01".

Logo,
11¹º - 1 = múltiplo de 100
11¹º - 1 = ...................00

Mostrando claramente ser a 10ª potência de 11, menos 1, um número divisível por 100, uma vez que termina em 00.

Um abraço.

por **Robson Jr.** Qui 12 Jul 2012, 22:05

Euclides escreveu: $\\N=11^{10}-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=11^{10}-1^{10}\\\\a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2...+ab^{n-2}+b^{n-1})\\\\11^{10}-1^{10}=(11-1)(11^{9}+11^{8}+11^{7}...+1^{8}+1^{9})\\11^{10}-1^{10}={\color{Red} 10}(11^{9}+11^{8}+11^{7}...+1^{8}+1^{9})$

Euclides, não faltou mostrar que o termo multiplicando o 10 também é múltiplo de 10?

Além disso, a fatoração não está errada? Acho o correto é (11 - 1)(11^9 + 11^8 + 11^7 + ... + 11^2 + 11 + 1).

por **Euclides** Qui 12 Jul 2012, 22:14

Robson Jr. escreveu:
Euclides escreveu: $\\N=11^{10}-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=11^{10}-1^{10}\\\\a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2...+ab^{n-2}+b^{n-1})\\\\11^{10}-1^{10}=(11-1)(11^{9}+11^{8}+11^{7}...+1^{8}+1^{9})\\11^{10}-1^{10}={\color{Red} 10}(11^{9}+11^{8}+11^{7}...+1^{8}+1^{9})$

Euclides, não faltou mostrar que o termo multiplicando o 10 também é múltiplo de 10?

Além disso, a fatoração não está errada? Acho o correto é (11 - 1)(11^9 + 11^8 + 11^7 + ... + 11^2 + 11 + 1).

de fato enganei-me na hora de transcrever a fatoração. Além disso desatento, trabalhei pensando em divisibilidade por 10. Essas coisas vêm me acontecendo... acho que ando cansado e me distraio.