Divisibilidade - UFV-MG

por Kelvin Brayan Qua 20 Jul 2011, 15:39

(UFV-MG) Seja x = 3600. Se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número de divisores naturais pares de x, então é correto afirmar que o valor de p e q é?

Tentativa I:
Eu fatorei 3600 e achei 5²*3²*2^4, então eu fiz:
(2+1)(2+1)(4+1) = 45

Esse é o valor de p = 45

Mas, como vou encontrar o valor de q?

Mad

por **aryleudo** Qua 20 Jul 2011, 17:02

(UFV-MG) Seja x = 3600. Se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número de divisores naturais pares de x, então é correto afirmar que o valor de p e q é?

Tentativa I:
Eu fatorei 3600 e achei 5²*3²*2^4, então eu fiz:
(2+1)(2+1)(4+1) = 45

Esse é o valor de p = 45

Mas, como vou encontrar o valor de q?

Para que um número seja para é tem que ser divisível por 2. Concorda?

Agora você deve utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) para resolver.
2⁰ = 1 (Não serve!)
2¹ = 2 (Ok!)
2² = 4 (Ok!)
2³ = 8 (Ok!)
2⁴ = 16 (Ok!)
Teremos 4 possibilidade para o número 2!

5⁰ = 1 (Ok!)
5¹ = 5 (Ok!)
5² = 25 (Ok!)
Teremos 3 possibilidade para o número 5!

3⁰ = 1 (Ok!)
3¹ = 3 (Ok!)
3² = 9 (Ok!)
Teremos 3 possibilidade para o número 9!

Utilizando o P.F.C.

q = 4x3x3 = 36.

Se pedisse para encontrar "q é o número de divisores naturais ímpares de x" bastava excluir as possibilidade do número 2!

Espero ter conseguido ajudar!
Aryleudo (Ary).

por Kelvin Brayan Qua 20 Jul 2011, 18:09

HUN...

Não entendi muito bem, pois:
Por que eu tenho que considerar também o 3 e o 5, sendo que eles são números ímpares e, além disso, eles elevados aos ditos expoentes resultando em números também ímpares?

por **abelardo** Qua 20 Jul 2011, 19:00

$3600=2^4+3^2+5^2$

$p=(4+1)(2+1)(2+1)=45$ , 3600 tem 45 divisores, sendo ímpar ou par.

Para que o divisor de 3600 seja par, ele deve ser um múltiplo de dois (lembrando que zero não divide, então os múltiplos são a partir de 2).

Ai pense, quantos são os divisores impares? É só multiplicar normalmente os expoentes como se o fator dois não existesse, então $Q_{ímpares}$ = $(2+1)(2+1)=9$ e chamemos os números desse conjunto de $z$ .

$\left\{\begin{matrix} 2(z)\\ 4(z)\\ 8(z)\\ 16(z) \end{matrix}\right.$ .

Lembrando que z pode assumir 9 possíveis valores, então teremos 9+9+9+9=36 divisores pares.

Desculpe-me pela linguagem, tentei ser o mais claro possível, mas para ler esse bagaça tem que usar farol de xenon.