então o valor de OP é

P é um ponto da corda CD do ciruclo de centro O. Se CP=9cm. PD=5 cm e o raio mede 9 cm. então o valor de OP é:
como fica o desenho

É preciso se esforçar porque fazer o desenho faz parte da questão.


Seja ∠COD = t
lei dos cossenos no ∆OCD:
14² = 9² + 9² - 2.9.9.cos(t) -----> 14² = 2.9².(1 - cos(t))
cos(t) = 1 - 14²/(2.9²) -----> cos(t) = 1 - 98/81 -----> cos(t) = -17/81

∆COP é isósceles de base x. Mas ∠OCP = ∠ODP = w.
w = (180º-t)/2 -----> w = 90º - t/2

cos(w) = cos(90º - t/2) = sen(t/2) =

∴ cos(w) = 7/9

lei dos cossenos no ∆COP:
x² = 9² + 9² - 2.9.9.7/9 -----> x² = 2.9.(9-7) -----> x² = 36 -----> x = 6 -----> OP = 6 cm

Drufox escreveu:P é um ponto da corda CD do ciruclo de centro O. Se CP=9cm. PD=5 cm e o raio mede 9 cm. então o valor de OP é:
como fica o desenho

Boa noite, Drufox.

Desenhe um círculo e identifique seu centro com a letra O.
Trace a corda CD.
Marque o ponto P sobre CD, fazendo OC=CP.
Marque 9 sobre o segmento CP e 5 sobre o segmento PD.
A seguir, desenhe uma corda passando por P e pelo centro O.
Identifique os extremos dessa corda com as letras E (região que contém centro O) e F (a outra extremidade).
O produto CP x PD = EP x PF = 9x5 = 45 (constante)

Como EF é uma corda passando pelo centro, sua medida é igual ao diâmetro (=2x9=18).
Portanto, fica:
EO = 9
OP = x
EP = 9+x
PF = 18 - (9+x) = 9-x

(9+x)(9-x) = 45
9² - x² = 45
x² = 81-45 = 36
x = √36
x = 6

Logo,
OP = 6 cm

Desenho (ver link abaixo, item X.1 - Relação Métrica entre duas cordas de intersecção interna ao disco - página 2):

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:BbBKmDRshB0J:files.supergel57.webnode.com.br/200000097-c0fb9c154d/Pot%25C3%25AAncia%2520de%2520Ponto.pdf+Potencia+de+um+ponto+interno+a+uma+circunfer%C3%AAncia&hl=pt-BR&gl=br&pid=bl&srcid=ADGEEShbjgYAFgbFNLMZfZVl6aOBxrdwePOqX8SVJsX_sjPM5YGLBK2TfA2UMxJ11BhcKR3vA4HgHqMTIKPkZuJxuuaecsV2O3AH9LzNeyyPXKA5psxMC1qGu_Ook_KV9etjtRl-jr0c&sig=AHIEtbSQ2dtfkTyQD65liAsnz1f_SPFMDA







Tenha uma semana muito abençoada!

Parabéns, Ivo, pela elegante solução, gostei mais da sua do que da minha.

Medeiros escreveu:Parabéns, Ivo, pela elegante solução, gostei mais da sua do que da minha.

Obrigado. Realmente notei que vc seguiu um caminho bem mais difícil para chegar à solução...

Somente para enriquecer o tema, esse problema também pode ser resolvido aplicando o Teorema de Stewart. Aproveitando o desenho obtemos :

CO²/CD.CP - PO²/CP.PD + OD²/CD.PD = 1 --> 9²/14.9 - PO²/9.5 + 9²/14.5 = 1

Resolvendo temos que PO = 6 cm.