Semelhança de triângulos

O perímetro do triângulo ABC da figura é 30, sendo BC = 9 e DE paralela a BC, tangente ao círculo inscrito. Então, DE mede:

A) 3
B) 16/5
C) 18/5
D) 4
E) NRA

Resposta: C

[img] [/img]

Para facilitar vou supor que ABC é is´sceles (A = AC). SE não for, a solução é similar


Sejam M, N, P, Q os pontos de tangência em AB, AC, BC e DE

pABC = 30

AB = AC = L ----> AB + AC + BC = 30 ----> 2L + 9 = 30 ----> L = 21/2

BP = CP = BC/2 ----> BP = CP = 9/2

BM = BP ----> BM = 9/2 -----> idem CN = CP -----> CN = 9/2

AM = AB - BM ----> AM = 21/2 - 9/2 ----> AM = 6 -----> idem AN = 6

DM = DQ = EN = EQ

AD + DQ = AD + DM -----> AD + DQ = AM ----> AD + DQ = 6 ----> I

AE + EQ = AE + EN ------> AE + EQ = AN ----> AE + EQ = 6 ----> II

I + II ----> AD + DQ + AE + EQ = 12 ----> AD + AE + (DQ + EQ) = 12 ----> AD + AE + DE = 12

AD + AE + DE = perímetro de ADE -----> pADE = 12

..DE ..... pADE ............ DE ....... 12
-------- = ---------- -----> -------- = ------- ----> DE = 18/5
..BC ...... pABC .............. 9 ......... 30

Valeu, vi sua resolução e fiz para o caso de ele não ser necessariamente isósceles e consegui chegar no resultado.

Obrigado!