Questão de Matriz

por leozux Qui 24 maio 2012, 12:56

Bom dia a todos

Estou com um problema em uma questão de matrizes que achei faz alguns dias em uma lista de exercicios e gostaria de ajuda.
tentarei representar as matrizes aqui

Dadas as matrizes

A =
|8 8|
|8 8| (a representação ficou torta mas é uma matriz de ordem 2 onde todos os elementos são 8 )

A^k =
|2¹¹¹ 2¹¹¹|
|2¹¹¹ 2¹¹¹| (idem, mas os elementos agora são 2 elevado a 111)

. Então, o valor
de k é igual a:
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

resposta : C

(Se possivel também uma breve explicação sobre potenciação de matrizes, ja que eu nao achei nenhum material sobre na internet que eu tivesse entendido)

Muito obrigado

por **Agente Esteves** Qui 24 maio 2012, 15:28

$A = \begin{pmatrix} 8 & 8\\ 8 & 8 \end{pmatrix}$

Vamos fazer agora alguns testes...

$A^2 = \begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\ 2^3 & 2^3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\ 2^3 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^7 & 2^7 \\ 2^7 & 2^7 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 2^7 & 2^7 \\ 2^7 & 2^7 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\ 2^3 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{11} & 2^{11} \\ 2^{11} & 2^{11} \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 2^{11} & 2^{11} \\ 2^{11} & 2^{11} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\ 2^3 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{15} & 2^{15} \\ 2^{15} & 2^{15} \end{pmatrix}$

Como poder ver, temos que esses expoentes seguem uma ordem. Quando o expoente é um, o resultado é 3, quando o expoente é dois, o resultado é 7, quando o expoente é três, o resultado é 11, quando o expoente é quatro, o resultado é 15 e por aí vai...

Isso forma uma P.A. de razão 4 e primeiro termo 3 e tudo o que precisamos saber é qual vai ser o expoente quando o resultado for 111.
111 = 3 + (n - 1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 = 111 -> 4n = 112 -> n = 28

Letra C.

Espero ter ajudado. ^_^

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