Limites e módulo.

por hhenriquee Qua 24 Abr 2024, 17:40

lim [(x^2 + 8x + 16) / ( | x + 4 | )]
x -> -4

Pessoal, boa tarde. Aparentemente esta questão retornará indeterminação de 0/0, não sendo possível simplificá-la.
Joguei tal limite tendendo a -4 no Photomath e ele afirma que os passos seguintes seriam verificar os limites laterais da expressão. Tais limites laterais, ambos, retornarão 0/0 ao que aparenta (enquanto o aplicativo só afirma que será 0).

Bem, agradeço antecipadamente esclarecimentos.

por **Elcioschin** Qua 24 Abr 2024, 18:09

Considerando x ≠ -4

Numerador: x² + 8.x = 16 = (x + 4)² ---> Valor positivo

Denominador: |x + 4| ---> Valor positivo

Podemos simplificar numerador com denominador

Limite (x + 4) = - 4 + 4 = 0
x-->-4

por **Giovana Martins** Qua 24 Abr 2024, 19:12

Apenas complementando:

[latex]\mathrm{f(x)=\frac{x^2+8x+16}{|x+4|}\to f(x)=\frac{(x+4)^2}{|x+4|}}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ def.: |x+4|=x+4,se\ x\geq -4. \ Por\ sua\ vez,\ |x+4|=-x-4,se\ x<-4.}[/latex]

[latex]\mathrm{ Deste \ modo : f ( x ) = \left\{\begin{matrix} \mathrm{ \frac{ ( x + 4 ) ^ 2} { x + 4} = x + 4 , se \ x \geq - 4}\\\\ \mathrm{ \frac{ ( x + 4 ) ^ 2 }{ - x - 4} = - x - 4 , se \ x < - 4 } \end{matrix}\right.}[/latex]

Plotando o gráfico, note que tanto à direita, quanto à esquerda, de x = - 4 o limite quando x tende - 4 é zero. Ademais, f(-4) = 0.

Sendo os limites laterais iguais a zero quando x tende a - 4 e f(-4) = 0, logo, o limite de f(x) quando x tende a - 4 é 0.

por hhenriquee Qua 24 Abr 2024, 22:12

Nossa, agradeço imensamente os esclarecimentos do mestre Elcioschin e da Giovana Martins. Sempre vi os dois respondendo altas perguntas e tive o privilégio do meu desentendimento ser sanado por eles.
Obrigado!

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