Módulo dentro de módulo

por vitoriogauss Sáb 20 Fev 2016, 23:43

Essa me pegou

$Módulo dentro de módulo Gif$

por **gabrieldpb** Dom 21 Fev 2016, 00:27

Se um módulo é igual a zero, o número em seu interior também será zero:

|x-2|x+|-3+|x-1||=0

Veja que

x-2=\left\{\begin{matrix} x-2,x\geqslant 2\\ 2-x,x\leqslant 2 \end{matrix}\right.

e

x-1=\left\{\begin{matrix} x-1,x\geqslant 1\\ 1-x,x\leqslant 1 \end{matrix}\right.

Logo, temos três casos:

i) x\leqslant 1
(2-x)x+|-3+1-x|=0

(2-x)x+|2+x|=0

Se x menor que -2:

2x-x^2-x-2=0 \rightarrow -x^2+x-2=0

Raízes complexas, logo não há solução para x\leqslant -2

Se x maior que -2:

2x-x^2+2+x \rightarrow -x^2+3x+2=0

Cujas única raiz que está no intervalo -2 \leqslant x\leqslant 1
é x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}

ii) 1\leqslant x \leqslant 2

(2-x)x+|-3+x-1|=0

2x-x^2+|x-4|=0

Pelo intervalo considerado, |x-4|=4-x, logo

2x-x^2-x+4=0 \rightarrow -x^2+x+4=0
Nenhuma das raízes da equação estão entre [1,2]

iii) 2\leqslant x

(x-2)x+|-3+x-1|=0

(x-2)x+|x-4|=0

Se x menor que 4:

x^2-2x+4-x=0 \rightarrow x^2-3x+4=0
Cujas raízes não são reais.

Se x maior que 4:

x^2-2x+x-4=0 \rightarrow x^2-x-4=0
Cujas raízes não são maiores que 4.

Logo, a única raiz é x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}

Espero ter ajudado, abraço!