Conceitos iniciais sobre funções

por **Giovana Martins** Dom 17 Mar 2024, 12:12

Segue uma questão para treinar. Posto a resolução em breve.

Utilizando-se apenas conceitos do ensino médio, determine o domínio e a imagem da função racional adiante sendo esta função uma função real.

[latex]\mathrm{P(x)=\frac{x}{x^2 +1}}[/latex]

Nota: o enunciado não está muito técnico, pois já tem tempo que vi esta questão, daí já não me lembro de como era o enunciado original.

por **Elcioschin** Dom 17 Mar 2024, 17:57

Algumas dicas para quem for tentar:

1) O denominador nunca será nulo
2) Para x = 0 ---> P(0) = 0
3) Teste valores para x ---> ± 1/2, ±1, ±2
4) Dividindo numerador e denominador por x:

P(x) = 1/(x + 1/x) --> O que acontece com P(x) quando x tende a -∞ e +∞ ?

por Pliniao Dom 17 Mar 2024, 18:20

Vou tentar.
Dom(f) => x^2 + 1 =/= 0 -> x =/= mais ou menos 1. Logo, Dom(f) = R - {1,-1}. Não há restrições pro numerador.
Im(f) seguirá o mesmo raciocínio, y = x/(x^2+1) , a expressão sempre dará um valor real desde que x seja diferente de +-1. Logo, a imagem é a mesma que o dom(f), que é conjunto dos Reais menos o 1 e -1.

por **Vitor Ahcor** Dom 17 Mar 2024, 19:10

Uma possível ideia:

Como x²+1≠0 ∀ x ∈ ℝ ⇒ D(P(x))=ℝ.

Agora, como a função $f(y)=tan(y)$ atinge qualquer valor real, podemos utilizar a parametrização $x(\theta)=tan(\theta)\;\; \theta \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi$. Logo, a função parametrizada se torna:

\[P(x(\theta))=\frac{tan(\theta)}{1+tan^2(\theta)}=\frac{tan(\theta)}{sec^2(\theta)}=sin(\theta)cos(\theta)\]
\[\Rightarrow P(x(\theta))=\frac{sin(2\theta)}{2}\]
\[\therefore \fbox{$\frac{-1}{2}\leq P(x) \leq \frac{1}{2}$}\]

Portanto, $D_{P(x)}=\mathbb{R}\;\;\wedge \;\; I_{P(x)}=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] $.

por **Giovana Martins** Qui 21 Mar 2024, 17:53

Um outro jeito:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{x}{x^2+1}\to yx^2+y-x=0}\\\\ \mathrm{\ Sendo\ y\neq 0\ e\ y\in \mathbb{R},logo, para\ que\ y\in \mathbb{R}\to \Delta \geq 0}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:\Delta =(-1)^2-(4)\cdot (y)\cdot y\geq 0\ \therefore\ y^2\leq \frac{1}{4}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \sqrt{y^2}\leq \sqrt{\frac{1}{4}}\to |y|\leq \frac{1}{2}\ \therefore\ -\frac{1}{2}\leq y=f(x)\leq \frac{1}{2}}\\\\ \mathrm{Note\ que\ se\ x=0\ tem-se\ y=0\ \therefore\ y=0\in \left [ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ Deste\ modo\ Im(f)=\left \{ y\in \mathbb{R}\ |\ -\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{1}{2} \right \}}[/latex]

por **Giovana Martins** Qui 21 Mar 2024, 18:11

Muito obrigada aos que tentaram resolver.

Indico uma outra resolução sem ser por parametrização.

A resolução não é minha e também não sei de quem que é. Lembro desta questão dos tempos que eu estudava para os vestibulares. Acho esta questão bem bonitinha.