Traçar lugar geométrico

1. É dado um quadrado. Determinar o lugar geométrico dos pontos dos quais o quadrado é visto sob um ângulo (a) 90°; (b) de 45°. (Seja P um ponto situado fora do quadrado mas no mesmo plano deste. O menor ângulo com vértice em P que contenha o quadrado é o ‘ângulo sob o qual o quadrado é visto“ de P). Traçar cuidadosamente ambos os lugares geométricos e descrevê-los completamente.

De início vamos deixar claro que o ponto P, pertencente ao plano do quadrado e externo a este, jamais vê o quadrado; isso vemos nós que olhamos de cima, o pobre ponto vê somente um segmento cujo comprimento pode variar entre a medida do lado do quadrado e a medida da sua diagonal, conforme o ponto esteja em posição de ver somente um ou dois lados do quadrado. Quando o ponto P enxerga dois lados do quadrado simultaneamente o que ele vê é a projeção desses lados sobre a diagonal do quadrado.

Ver um segmento sob determinado ângulo remete ao arco capaz. Tal arco é o lugar geométrico de todos os pontos que veem aquele segmento sob um mesmo ângulo. Como os pontos do arco capaz são pontos inscritos na circunferência, o centro desse arco deve enxergar o mesmo segmento pelo dobro do ângulo requerido.

Seja o quadrado ABCD de aresta a.

a) 90º
Aqui nem precisamos da teoria do arco capaz pois é sabido que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Mas se quiser considerar arco capaz, pense que seu centro deve ver o segmento por um ângulo de 180º sendo, portanto, o ponto médio do segmento.
Neste caso o centro do arco é o ponto médio da aresta do quadrado e seu raio é a/2.


Os pontos vermelhos grossos (esquinas do quadrado) não são lugar de P pois pertencem ao quadrado e P dever ser externo.

b) 45º
Neste caso teremos arcos de circunferência cujo centro vê o quadrado por 90º.
Em vermelho estão desenhados os segmentos de arco capaz que veem apenas um lado do quadrado; em azul, aqueles que veem dois lados do quadrado. Os pontos O vermelho e azul são os respectivos centos dos arcos capazes -- oriente-se pelo quadriculado da figura.


Considere o arco capaz que vê o lado AB sob 45º. Evidentemente este arco tem extremidades em A e B. No entanto quando P excursiona por este arco e ultrapassa o ponto vermelho grosso ele passa a ver dois lados (AB e BC), porém neste caso não mais seria sob um ângulo de 45º e sim maior.
Quando P enxerga, por ex., os lados AB e BC, o que ele vê é a projeção sobre a diagonal AC. Então para estes casos em que P vê dois lados o arco capaz deve ser traçado em relação à diagonal do quadrado. Neste caso o centro do arco fica exatamente no vértice B, porque deve ver essa diagonal sob 90º.
Note que as curvaturas vermelha e azul são diferentes pois descendem de raios diferentes.