Área do semi-círculo

por **Elcioschin** Dom 14 Jan 2024, 10:36

Para o pessoal treinar:

Temos um triângulo retângulo ABC com AB = 12 e BC = 5
Qual é a área do semicírculo?

Existem diversos modos de resolver. O objetivo é descobrir o mais simples.

por Pliniao Dom 14 Jan 2024, 11:24

Dá para fazer por semelhança de triângulo? cheguei em aproximadamente 36pi.

por **Giovana Martins** Dom 14 Jan 2024, 11:50

por **Giovana Martins** Dom 14 Jan 2024, 11:52

Cheguei nos 50pi/9 se não errei continhas. Fiz por semelhança de triângulos (em verde) e por trigonometria (em roxo).

por **Elcioschin** Dom 14 Jan 2024, 13:08

Outro modo

AC² = AB² + BC² ---> AC² = 12²+ 5² ---> AC = 13

CF e CB são tangentes externas tiradas do mesmo ponto C --->

CF = CB ---> CF = 5

AF = AC - CF ---> AF = 13 - 5 ---> AF = 8

AO = AB - OB ---> AO = 12 - R

AF² + OF² = AO² ---> 8² + R² = (12 - R)² ---> R = 10/3

S = pi.R²/2 ---> S = pi.(10/3)²/2 ---> S = 50.pi/9

E um 4º modo é usar Geometria Analítica:

A(-12, 0), B(0, 0), C(0, 5), O(-R, 0)

Determine as equações da circunferência de centro O e raio R e da reta AC
Resolva o sistema e calcule R

por **Giovana Martins** Dom 14 Jan 2024, 13:42

Uma outra opção a partir da figura que eu postei:

BC = CF = 5

Logo, AF = AC - CF = 13 - 5 = 8.

Do ∆ABC: tan(β) = 5/12.

Do ∆AOF: tan(β) = R/8 = 5/12, o que acarreta R = 10/3.

Por fim, A = (∏R²)/2 = (50∏)/9.

por **Leonardo Mariano** Dom 14 Jan 2024, 14:21

Uma outra maneira utilizando potência de ponto e usando os pontos do desenho da Giovana:

AF = 8 (pelos raciocínios das outras resoluções)

AF e AB são duas retas concorrentes que interceptam o círculo, logo:

AF² = AD.AB -> 8² = (12 - 2R).12 -> R = 6 - 8/3 = 10/3

A = (∏R²)/2 = (50∏)/9