Círculo inscrito num semi-círculo

por **adriano tavares** Qui 02 Dez 2010, 03:01

Olá, andrerj.

Círculo inscrito num semi-círculo Crculoinscritonumsemicr

O raio da circunferência AB é paralelo a DH.

$DH=x$

O raio AO é igual a $\frac{a+b}{2}$

$OD=a-\frac{a+b}{2}\Rightarrow OD=\frac{a-b}{2}$

$DC=R$

Aplicando Pitágoras no triângulo ODC teremos:

$(OC)^2=\left(\frac{a-b}{2} \right )^2+R^2 \Rightarrow (OC)^2=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}+R^2\\\\(OC)^2=\frac{a^2-2ab+b^2+4R^2}{4}\Rightarrow OC=\sqrt{\frac{a^2^-2ab+b^2+4R^2}{4}}$

O segmento OC também é dado por:

$OC=\frac{a+b}{2}-R\Rightarrow OC=\frac{a+b-2R}{2}$

Igualando e elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

$\frac{a^2+2ab+b^2-2(a+b)2R+4R^2}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2+4R^2}{4}\\\\4ab=4(a+b)R\Rightarrow R=\frac{ab}{a+b}$

Calculando OC em função de a e b teremos:

$OC=\frac{a+b}{2}-R \Rightarrow OC=\frac{a+b}{2}-\frac{ab}{(a+b)}\\\\OC=\frac{(a+b)^2-2ab}{2(a+b)}\Rightarrow OC=\frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{2(a+b)}\\\\OC=\frac{a^2+b^2}{2(a+b)}$

Vamos calcular o segmento OP aplicando as relações métricas no triângulo retângulo.

$(OD)^2=(OC).(OP)$

$\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2(a+b)}.(OP)\Rightarrow OP=\frac{(a+b)(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}$

$DH=OC-OP \Rightarrow x=\frac{a+b}{2}-\frac{(a+b).(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\\\x=\frac{(a+b)(a^2+b^2)-[(a+b).(a^2-2ab+b^2)]}{2(a^2+b^2)}\\\\x=\frac{a^3+ab^2+a^2b+b^3-[a^3-2a^2b+ab^2+a^2b-2b^2a+b^3]}{2(a^2+b^2)}\\\\x=\frac{a^3+ab^2+a^2b+b^3-[a^3+b^3-a^2b-b^2a]}{2(a^2+b^2)}\\\\x=\frac{a^3+b^3+a^2b+b^2a-a^3-b^3+a^2b+b^2a}{2(a^2+b^2)}\\\\x=\frac{(2a^2b+2b^2a)}{2(a^2+b^2)}\Rightarrow x=\frac{2ab(a+b)}{2(a^2+b^2)}\Rightarrow x=\frac{ab(a+b)}{(a^2+b^2)}$

Círculo inscrito num semi-círculo

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CÍRCULO INSCRITO NUM SEMI-CÍRCULO

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