Encontro da bissetriz com a base de um triângulo

por vvarmbruster Ter 28 Nov 2023, 01:17

Dado o triângulo de vértices A (2;4), B (27/2 ;5) e C (6;1), seja u a reta bissetriz do ângulo interno C e seja a reta t a bissetriz dos ângulos esternos relativos ao vértice C.

a) O ponto onde u corta o lado AB

b) O ponto onde t corta a reta-suporte do lado AB

R:
a) (169/27 ; 118/27)
b) (-101/7 ; 18/7)

Segue meu raciocínio louco, por favor deem uma olhada. Havia tentado pela fórmula do cálculo da bissetriz, mas o livro sugere que seja resolvido com base no teorema da bissetriz interna, uma vez que o denominador será irracional se tentar do primeiro modo.

Obrigado!

Encontro da bissetriz com a base de um triângulo Sem_tz12

por **Giovana Martins** Ter 28 Nov 2023, 09:14

Bom dia!

Não consigo propor nada agora, mas acredito que seu cálculo tem um ligeiro equívoco.

Ao calcular o comprimento CB, ao fazer a diferença entre as ordenadas dos pontos B e C, o cálculo deveria ser 5 - 1, não?.

por **Elcioschin** Ter 28 Nov 2023, 11:10

Calcule AB, AC, BC

AB² = (xB - xA)² + (yB- yA)² ---> Similar para AC e BC

Seja P o ponto de AB onde toca a bissetriz do ângulo C:

AC/AP = BC/BP ---> BP = (BC/AC).AP --> I

AP + BP = AB --> AP + (BC/AC).AP = AB --> AP.(1 + BC/AC) = AB ---> AP.[(AC + BC)/AC) = AB -->

AP = AB.AC/(AC + BC)

por Mael0912 Ter 28 Nov 2023, 11:20

questão chatinha ,mas boa dms ela é do ita

por vvarmbruster Ter 28 Nov 2023, 14:45

Elcioschin escreveu:Calcule AB, AC, BC

AB² = (xB - xA)² + (yB- yA)² ---> Similar para AC e BC

Seja P o ponto de AB onde toca a bissetriz do ângulo C:

AC/AP = BC/BP ---> BP = (BC/AC).AP --> I

AP + BP = AB --> AP + (BC/AC).AP = AB --> AP.(1 + BC/AC) = AB ---> AP.[(AC + BC)/AC) = AB -->

AP = AB.AC/(AC + BC)

Obrigado pela ajuda, mestre, e obrigado Giovana pela correção, de fato, havia um erro ali. Apesar de ter encontrado o comprimento de AP, estou com dificuldade em encontrar as coordenadas do ponto P. Tentei montar um sistema sabendo que o ponto P dista √533*5/27 de A e que ele está contido na reta y = 2/23(x) +88/23. Naturalmente, quando calculado este valor por meio de uma calculadora, um dos pontos é de fato a resposta do exercício, porém imagino que esta não seja a resolução adequada, uma vez que é extremamente trabalhosa quanto ao desenvolvimento da equação. O que acha que pode ser feito de uma maneira mais simples?

Encontro da bissetriz com a base de um triângulo Sem_tz13

por **Giovana Martins** Ter 28 Nov 2023, 15:51

Uma outra coisa que eu acho que dá pra fazer, mas que torna a resolução um pouco rebuscada: o incentro, isto é, ponto de encontro das bissetrizes é centro da circunferência inscrita no triângulo. Por geometria analítica as coordenadas do incentro é dada por uma média ponderada entre os lados e as coordenadas. Por fim, desenhando o raio da circunferência acha-se um triângulo retângulo estratégico. Não sei o quão difícil é isso e não sei se dá trabalho. No campo das ideias parece ser rápido. Quando eu chegar do trabalho eu tento ver o que dá pra fazer.

por **Elcioschin** Ter 28 Nov 2023, 17:38

Sua figura esta mal desenhada. Desenhe-a num sistema xOy, em escala.
Você verá que C é o vértice mais baixo do triângulo.

Existe um modo bem fácil de calcular as coordenadas de P(xP, yP)

Por A trace uma paralela ao eixo x, até um pondo D sobre a reta pontilhada de B sobre o eixo x ---> D(27/2, 4)
Por P trace uma reta paralela ao eixo y até encontra AD em H(xP, 4)

Note que temos dois triângulos retângulos semelhantes AHP e ADB:

AP/AH = AB/AD ---> AP/(xP - xA) = AB/(XD - xA) ---> AP/(xP - 2) = AB/(27/2 - 2) ---> Calcule xP

AP/PH = AB/BD ---> AP/(yP - yA) = AB/(xB - XD) ---> AP/(yP - 4) = AB/(5 - 4) ---> Calcule yP

por **Giovana Martins** Ter 28 Nov 2023, 21:35

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ Sejam\ as\ retas\ \overset{\leftrightarrow }{AC}: 3x+4y-22=0\ e\ \overset{\leftrightarrow }{BC}:8x-15y-33=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Bissetriz:\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}}\\\\ \mathrm{\frac{3x+4y-22}{\sqrt{3^2+4^2}}=\pm \frac{8x-15y-33}{\sqrt{8^2+(-15)^2}}\to \frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}=\pm \frac{8}{17}x-\frac{15}{17}y-\frac{33}{17}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ t:\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}= \frac{8}{17}x-\frac{15}{17}y-\frac{33}{17}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{t: x+13y-19=0}}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ u:\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}= -\frac{8}{17}x+\frac{15}{17}y+\frac{33}{17}\ \therefore\ \boxed {\mathrm{u:13x-y-77=0}}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ Seja\ a \ reta\ \overset{\leftrightarrow }{AB}:2x-23y+88=0\ \therefore\ \overset{\leftrightarrow }{AB}\ \cap \ u=(x,y)}[/latex]

[latex] \mathrm{\overset{\leftrightarrow }{AB}\ \cap \ u\to }\left\{\begin{matrix} \mathrm{13x-y-77=0}\\ \mathrm{2x-23y+88=0} \end{matrix}\right.\mathrm{\ \therefore \ \boxed {\mathrm{\mathrm{}F\left ( \frac{169}{27},\frac{118}{27} \right )}}} [/latex]

[latex]\mathrm{Para\ o\ item\ B:\left\{\begin{matrix} \mathrm{x+13y-19=0}\\ \mathrm{2x-23y+88=0} \end{matrix}\right.\ \therefore\ \boxed {\mathrm{(x,y)=\left ( -\frac{101}{7},\frac{18}{7} \right )}}}[/latex]

Encontro da bissetriz com a base de um triângulo Oie_t163

por **Giovana Martins** Ter 28 Nov 2023, 21:51

Varm, fiz pela equação das bissetrizes mesmo. Eu havia sugerido ali uma ideia um pouco mais rebuscada, porém, pegando o exercício para fazer, a ideia que eu propus seria muito complicada para um exercício que versa simplesmente sobre a aplicação direta da equação da bissetriz.

A meu ver, se eu não errei continhas (acredito que não, pois cheguei ao gabarito), são viáveis de serem feitas na mão. Dá um pouquinho de trabalho, mas o algebrismo dá conta de resolver.

Postei uma imagem para facilitar a visualização. Os pontos E e F são os pontos solicitados entre os itens A e B.

Não estranhe o meu gráfico estar na escala 2:1. Fiz isso tão-somente para que as minhas construções coubessem tudo dentro de uma mesma imagem, mas isso não muda nada o entendimento.

por vvarmbruster Ter 28 Nov 2023, 21:55

Giovana Martins escreveu:
Varm, fiz pela equação das bissetrizes mesmo. Eu havia sugerido ali uma ideia um pouco mais rebuscada, porém, pegando o exercício para fazer, a ideia que eu propus seria muito complicada para um exercício que versa simplesmente sobre a aplicação direta da equação da bissetriz.

A meu ver, se eu não errei continhas (acredito que não, pois cheguei ao gabarito), são viáveis de serem feitas na mão. Dá um pouquinho de trabalho, mas o algebrismo dá conta de resolver.

Postei uma imagem para facilitar a visualização. Os pontos E e F são os pontos solicitados entre os itens A e B.

Não estranhe o meu gráfico estar na escala 2:1. Fiz isso tão-somente para que as minhas construções coubessem tudo dentro de uma mesma imagem, mas isso não muda nada o entendimento.

Eu fui conferir aqui e.... tava tudo dando errado porque eu passei errado pro papel, com sinal onde não tinha nas coordenadas, além de que consegui errar em operação algébrica :/ . É esse resultado aí mesmo, mas como o livro dava um exemplo com aplicação do teorema da bissetriz interna, imaginei que esse exercício só pudesse sair assim, contudo, foi erro meu mesmo.
Peço desculpas a todo mundo pela dor de cabeça.