Bissetriz e triângulo

por gal-marg001 Sex 27 Set 2019, 22:33

Olá, a minha dúvida principal nessa questão é saber como posso achar o cosseno de 36º , já que a questão não me forneceu.

Dado que a bissetriz do ángulo ACB é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das semirretas CA e CB e portanto, divide o angulo em dois angulos congruentes, considere um triângulo ABC isosceles com AB = AC = 1cm e med (A)= 36°, Se D pertence a AB, de forma que CD seja a bissetriz do ângulo C, então a medida BC é?

a) Raíz de 5 - 1 / 2 cm
b) Raíz de 5 - raíz de 2 / 2 cm
c) 2 - Raíz de 2 /2 cm
d) 2 + raíz de 2 / 2 cm
e) 2 + raíz de 5/ 2 cm.

por **Elcioschin** Sex 27 Set 2019, 22:58

Eis uma figura para ajudar.
Aplique Lei dos senos ou Lei dos cossenos e resolva o sistema.

por **Medeiros** Sáb 28 Set 2019, 04:02

Para achar o que o problema pede você não precisa do cos36°. Basta o que o Élcio já indicou e semelhança de triângulos.

Mas, após calcular BC (x), você pode aproveitar e calcular o cosseno e seno de 36°.

Aproveitando o encaminhamento do Élcio e completando...

por **Elcioschin** Sáb 28 Set 2019, 11:40

Mostrando o passo-a-passo do cálculo do cos36º:

x = (√5 - 1)/2 ---> x² = (3 - √5)/2 ---> y = x² ---> y = (3 - √5)/2 ---> I

Lei dos cossenos em CBD --> BD² = BC² + DC² - 2.BC.DC.cos(B^CD) --->

y² = x² + x² - 2.x.x.cos36º ---> y² = 2.x².(1 - cos36º)

y = x² ---> y² = 2.y.(1 - cos36º) ---> y = 2.(1 - cos36º) ---> II

I em II ---> (3 - √5)/2 ---> 2.(1 - cos36º) ---> (3 - √5)/4 = 1 - cos36º ---> cos36º = (√5 + 1)/4