Triângulo e bissetriz

por Convidado Dom 18 Mar 2012, 22:22

Na figura a seguir, I é o incentro do ∆ABC e DE é paralelo a BC.
Considerando AB = c, AC = b e BC = a, determine o perímetro do ∆ADE e a medida do segmento DE .

por Convidado Dom 01 Abr 2012, 20:25

alguém

por **Euclides** Dom 01 Abr 2012, 20:44

por matheuss_feitosa Dom 01 Abr 2012, 21:49

Não, Euclides, acho que você se confundiu, esta propriedade pertence ao baricentro. O incentro é só é o centro da circunferência inscrita.
Vou postar uma resolução, à propósito, Gabriel, você tem o gabarito? Question

por matheuss_feitosa Seg 02 Abr 2012, 14:20

Temos que ∆AHC~∆AHB (A.A.A.), logo, para resolver esse problema, só precisamos achar a razão de semelhança.

De acordo com a imagem, z é a medida da bissetriz AH relativa à BC, se I é o incentro do ∆ABC, CI e BI são, respectivamente, bissetrizes dos triângulos AHC e AHB.

Pelo teorema da bissetriz interna, no ∆AHC, temos:

$\frac{x}{y}=\frac{b}{a-m}$

No ∆AHB,

$\frac{x}{y}=\frac{c}{m}$

Com isso podemos escrever, por proporcionalidade,

$\frac{x}{y}=\frac{b+c}{(a-m)+ m}=\frac{b+c}{a}$

Novamente, por proporcionalidade,

$\frac{x+y}{x}=\frac{z}{x}=\frac{a+b+c}{b+c}$

Se x é bissetriz no triângulo ADE, então, já achamos a razão de semelhança.

$\frac{x}{z}=\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2p_{\Delta ADE}}{a+b+c}=\frac{DE}{a}$

Ou seja,

$2p_{\Delta ADE}=b+c$
e
$DE=\frac{a\cdot (b+c)}{a+b+c}$

Abraços. cheers

por Convidado Seg 02 Abr 2012, 23:29

O gabarito não tenho, mas só tem uma alternativa com essas respostas. Você acertou então. Muito obrigado Matheus e Euclides.

por Convidado Seg 02 Abr 2012, 23:39

Você conseguiu fazer sozinho Matheus? É muito difícil não é?

por matheuss_feitosa Ter 03 Abr 2012, 01:51

Cara, essa não foi uma questão convencional, se fosse o baricentro, sim, porque ficaria evidente a razão de semelhança... :ccc: , mas enfim, eu fiz sozinho, no entanto, tive a ajuda de um bom teorema, esse que eu já fui demonstrando porque você poderia não entender se eu fosse falando (ou melhor, escrevendo):
"Pelo Teorema do Incentro..."

$\frac{x}{y}=\frac{b+c}{a}$

Dá uma olhada nisto aqui, está em espanhol, mais um que teimam em esconder da gente. affraid