Bissetriz do triângulo

(ITA - 1997) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2, 0) e C: (0, 3). Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos ABC. Então x + y é igual a:


 (A)12/(5 + √13 )  (B)8/(2 + √11 )  (C)10/(6 + √13 )  (D)5  (E)2 






Resposta letra A

Essa é bem trabalhosa, tente assim:
-Monte o gráfico e você terá um triângulo retângulo em A.
-Imagine um ponto D entre A e C e um ponto E entre A e B.
-Os pontos D e E são onde as bissetrizes cortam os lados do triângulo.
-Usando o teorema das bissetrizes internas temos: AD/AB=CD/CB e AE/AC=EB/BC.
-Note que x de D = 0 e y de E = 0.
-Substitua os valores e você terá uma única incógnita. Por exemplo em D:
(√y²)/2=(√(y-3)²)/√13
Resolvendo, você desconsidera o valor negativo pois D está acima do eixo. logo D será (0,(4√13-8 )/6).
-Faça a mesma coisa com E
-Faça a intersecção das retas BD e EC, você terá o ponto P.
-Some as coordenadas de P e seja feliz =]

OBS: Eu não testei por completo o que descrevi, teste e veja se chegou no resultado. Também não sei se existe um método mais simples de resolução.

EDIT: lembrei de um método mais simples, calcule as equações dos lados do triângulo e aplique a fórmula:
(ax+by+c)/√(a²+b²)=(ax+by+c)/√(a²+b²)     ---> onde cada lado da equação é uma reta diferente,
Com isso você terá as bissetrizes, basta fazer a intersecção.

Valeu pela dica.

A(0,0) ; B(2,0) e C(3,0) P(x,y) 


Temos um triangulo de base 2 e altura 3.

Logo: Hipotenusa = √13

Área = (2.3)/2 = 3

Área = p.r  ---> (3 + 2 + √13).r/2

Área = (5 + √13).r/2 ----> (5 + √13).r/2 = 3 -----> r = 6/(5 + √13)

P é o centro do triangulo. 

Logo:

P = 2r ---> P =  12/(5 + √13)