Equações de retas perpendiculares dados três pontos

Elcioschin escreveu:Reta r ---> y = d.x + e ---> Passa por (3, 2) e (xB, 0) ---> d = coeficiente angular

2 = 3.d + e ---> I
0 = xB.d + e --> II

I - II ---> 2 = (3 - xB).d ---> d = 2/(3 - xB) ---> III

Reta s ---> y = n.x + p ---> Passa por (3, 2) e (xC, 0) ---> n = - 1/d  coeficiente angular

2 = 3.n + p ---> 2 = 3.(-1/d) + p ---> IV
0 = xC.n + p --> 0 = xC/(-1/d) + p --> V

IV - V ---> 2 = (3 - xC).(-1/d) ---> d = (xC - 3)/2 ---> VI

VI = III ---> (xC - 3)/2 = 2/(3 - xB) ----> VII ---> relação entre xB e xC

xC - xB = 5 ---> VIII ---> Outra relação entre xB e xC

Calcule xB e xC e complete

Giovana Martins escreveu:

Sejam os pontos A(3,2), B(m,0) e C(n,0), tal que m < n. Sem muito rigor, tendo em vista que de início não conhecemos as abscissas m e n, plote os pontos A, B e C no sistema xOy.

Após fazer o esboço das localizações dos pontos A, B e C, note que será formado o triângulo ABC de base BC = 5 e altura cujo comprimento corresponde à ordenada do ponto A, isto é, 2. Sendo BC = 5 e h = 2, logo, a área do triângulo ABC é 5.

Do triângulo ABC, tem-se:

[latex]\\\mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 3 &2 &1 \\ \mathrm{m} & 0 &1 \\ \mathrm{n} &0 &1 \end{Vmatrix}=5\ \therefore\ |-2m+2n|=10\ (i)}[/latex]

Seja P(3,0) tal que AP = h. Note que m(∠APC) = m(∠CAP) = 90°. Dada esta configuração, pelas relações métricas no triângulo retângulo, tem-se: (AP)² = BP x PC.

Manipulando a última igualdade obtida:

(3 - m)(n - 3) = 4 (ii)

De (i) e (ii), tem-se:

(m,n) = {(-1,4), (2,7), (4,-1), (7,2)}

Dos pares ordenados (m,n) obtidos, note que (4,-1) e (7,2) tem de ser descartados, tendo em vista que de início estabelecemos a condição m < n. Logo, os possíveis pares (m,n) são (m,n) = {(-1,4), (2,7)}.

Para (m,n) = (-1,4) tem-se B(-1,0) e C(4,0);

Para (m,n) = (2,7) tem-se B(2,0) e C(7,0).

Agora que sabemos quais são os pares ordenados (m,n) que satisfazem o enunciado, basta determinarmos todas as possíveis retas. Veja:

[latex]\\\mathrm{Para\ A(3,2)\ e\ B(-1,0)\to y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}\\\\ \mathrm{Para\ A(3,2)\ e\ C(4,0)\to y=-2x+8}\\\\ \mathrm{\ Para\ A(3,2)\ e\ B(2,0)\to y=2x-4}\\\\ \mathrm{Para\ A(3,2)\ e\ C(7,0)\to y=-\frac{x}{2}+\frac{7}{2}}[/latex]

Se houver dúvidas, avise.