(ITA-1960) Equação trigonométrica III

4 – Determinar o(s) erro(s) na “dedução” abaixo.
Seja [latex]0< x <\frac{\pi}{2}[/latex]: nessa hipótese [latex]cos\ x< sec\ x[/latex] e multiplicando ambos os membros por [latex]sen\ x-tg\ x[/latex] obtemos
[latex]cos\ x(sen\ x-tg\ x)< sec\ x(sen\ x-tg\ x)[/latex]
ou
[latex]sen\ x\ cos\ x-sen\ x< tg\ x-tg\ x\ sec\ x[/latex]
Para [latex]x=45^0[/latex] teremos:
[latex]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}< 1-\frac{2}{\sqrt{2}}[/latex]
e sucessivamente
[latex]-\frac{\sqrt{2}}{2}< \frac{1}{2}-\sqrt{2}[/latex],
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}< \frac{1}{2}[/latex],
[latex]\sqrt{2}< 1[/latex].

Spoiler:

[latex] a < b \implies ac < bc [/latex] só se [latex] c > 0  [/latex]

Como [latex]\sin(x) - \tan(x) < 0[/latex] para todo x no intervalo, não podemos manter a desigualdade.