Equação trigonométrica - Equação simples

Resolva a equação:

Tentei aqui mas cheguei numa resposta bem feia... Tem certeza que a equação é essa? Veja se nao tem um 2 multiplicando senxcosx,e tem o gabarito?

Luck, nem tem viu, a não ser que a impressão do livro do livro esteja errada.
o gabrito é:

Ah entao é isso mesmo...vc pode fazer assim:
sabe-se que (senx+cosx)² = 1 + 2senxcosx , usando isso:
senxcosx =[ (senx+cosx)²- 1]/2 , substituindo na equação:

[ (senx+cosx)²- 1]/2 - V2(senx+cosx) + 1 = 0
senx + cosx = t
t²-1 -2V2t + 2 = 0
t² -2V2t +1 = 0
t = V2 +- 1
V2+ 1 descarta ( pois senx + cosx é no máx 2)
entao senx + cosx = V2 - 1
aplicando o truque do triângulo retângulo:
V2(senx/V2 + cosx/V2) = V2 - 1
V2cos(x - pi/4) = V2 - 1
cos(x - pi/4) = 1 - (V2/2)
x - pi/4 = +- arcos[1 - (V2/2)] + 2kpi
x = pi/4 +- arcos[1 - (V2/2)] + 2kpi , k ∈ Z

gabriel nao esqueça de postar o gabarito da questao junto com o enunciado sempre que tiver...

Por que isso está errado?

Faltou um 4 na 3ª linha

sen²(2x) + 4sen2x + 4 = 8sen(2x) + 8

gabrieldpb escreveu:Por que isso está errado?

Vc pode achar a resposta em função do seno tb, quando apliquei o truque V2(senx/V2 + cosx/V2) , nesse caso vc podia tb colocar como sen(x+pi/4) que é a mesma coisa... ja elevar ao quadrado acho que pode introduzir raízes estranhas, nesse caso tb nao seria bom pq nao é uma equação com respostas certinhas nao da pra voltar e testar as raízes. Veja um exemplo simples,
considerando [0,2pi] :
senx + cosx = V2/2
senx + sen(pi/2 - x) = V2/2

senp + senq = 2sen(p+q)/2 .cos(p-q)/2

2sen(pi/4).cos(x - pi/4) = V2/2
cos(x-pi/4) = 1/2
x - pi/4 = pi/3 ou x - pi/4 = 5pi/3
x = 7pi/12 ou x = 23pi/12

agora veja resolvendo elevando ao quadrado:
senx + cosx = V2/2
1 + sen2x = 1/2
sen2x = -1/2
2x = 7pi/6 ou 2x = 11pi/6
x = 7pi/12 ok! ou x = 11pi/12 (F)

Entendi, muito obrigado Luck e Elcioschin. Eu poderia ter colocado raízes estranhas mesmo.