Sistema Linear — Rouché-Capelli
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Sistema Linear — Rouché-Capelli
por driveroom Ter 13 Jun 2023, 19:39
Classifique e resolva o sistema, usando o Teorema de Rouché-Capelli.
driveroom- Iniciante
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Lucas_DN684 gosta desta mensagem
Re: Sistema Linear — Rouché-Capelli
por Lucas_DN684 Qua 14 Jun 2023, 15:44
Seja o sistema linear S da imagem, de variáveis reais:
[latex]\left\{\begin{matrix} 3x&+4y &-z &+2t &=2 \\ 2x&-2y & +z & -3t &=5 \\ -x& +3y & +2z & -t& =3\\ 2x& +7y& +z& t& =-1 \end{matrix}\right.[/latex]
Que em sua forma matricial é:
[latex]\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 \\ 2&-2 & +1 & -3 \\ -1& +3 & +2 & -1 \\ 2& +7& +1& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ t \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2\\ 5\\ 3\\ -1 \end{bmatrix} [/latex]
Consideremos A e B a matriz incompleta e completa do sistema, respectivamente:
[latex]A=\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 \\ 2&-2 & +1 & -3 \\ -1& +3 & +2 & -1 \\ 2& +7& +1& 1 \end{bmatrix}[/latex]
e
[latex]B=\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 & 2\\ 2&-2 & +1 & -3 & 5\\ -1& +3 & +2 & -1&3 \\ 2& +7& +1& 1 & -1 \end{bmatrix} [/latex]
Escalonando B:
[latex]\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 & 2\\ 2&-2 & +1 & -3 & 5\\ -1& +3 & +2 & -1&3 \\ 2& +7& +1& 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -1 &\frac{45}{7} &0 &0 &\frac{63}{17} \\ 0& -\frac{61}{17} & 0 & 1&-\frac{48}{17} \\ 0&20 & 17 & 0 &28 \\ 0 & 0 & 0&0 & -6 \end{bmatrix}[/latex]
Veja que:
[latex]\rho (A)=3\neq \rho (B)=4[/latex]
Mas, pelo teorema de Rouché-Capelli: "O sistema linear S será possível se, e somente se, ρ (A) = ρ (B)". Portanto, o sistema não tem solução.
[latex]\left\{\begin{matrix} 3x&+4y &-z &+2t &=2 \\ 2x&-2y & +z & -3t &=5 \\ -x& +3y & +2z & -t& =3\\ 2x& +7y& +z& t& =-1 \end{matrix}\right.[/latex]
Que em sua forma matricial é:
[latex]\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 \\ 2&-2 & +1 & -3 \\ -1& +3 & +2 & -1 \\ 2& +7& +1& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ t \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2\\ 5\\ 3\\ -1 \end{bmatrix} [/latex]
Consideremos A e B a matriz incompleta e completa do sistema, respectivamente:
[latex]A=\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 \\ 2&-2 & +1 & -3 \\ -1& +3 & +2 & -1 \\ 2& +7& +1& 1 \end{bmatrix}[/latex]
e
[latex]B=\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 & 2\\ 2&-2 & +1 & -3 & 5\\ -1& +3 & +2 & -1&3 \\ 2& +7& +1& 1 & -1 \end{bmatrix} [/latex]
Escalonando B:
[latex]\begin{bmatrix} 3&+4 &-1 &+2 & 2\\ 2&-2 & +1 & -3 & 5\\ -1& +3 & +2 & -1&3 \\ 2& +7& +1& 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -1 &\frac{45}{7} &0 &0 &\frac{63}{17} \\ 0& -\frac{61}{17} & 0 & 1&-\frac{48}{17} \\ 0&20 & 17 & 0 &28 \\ 0 & 0 & 0&0 & -6 \end{bmatrix}[/latex]
Veja que:
[latex]\rho (A)=3\neq \rho (B)=4[/latex]
Mas, pelo teorema de Rouché-Capelli: "O sistema linear S será possível se, e somente se, ρ (A) = ρ (B)". Portanto, o sistema não tem solução.
Lucas_DN684- Fera
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