Polias

No sistema ao lado, a bola 1 tem massa L 2 1 igual à massa da barra 2. O comprimento da barra é 3 m. As massas das polias e dos fios, assim como os atritos, são desprezíveis. Inicialmente, a bola se estabelece a um mesmo nível com o extremo inferior da barra. Determine o tempo necessário para que a bola fique no mesmo nível de extremo superior da barra. (g = 10 m/s2 )


Resposta: 1.4 s

Aceleração da bola \( a_1 \) (vínculo geométrico) para cima:
\[
a_1 = \frac{a_2}{2}
\]
Utilizando a aceleração relativa (corpos se movimentando em sentidos opostos):
\[
a_{\mathrm{rel}} = a_1 + a_2  = 3a_1
\]
2ᵃ Lei de Newton
\[
\begin{cases}
T - m_1g = m_1 a_1 \\
m_2 g - \frac{T}{2} = m_2 a_2
\end{cases} \sim \begin{cases} T = m_1 ( a_1 + g) \\ T =2m_2 (g - a_2)\end{cases} \implies m_1 ( a_1 + g) = 2m_2 ( g - 2a_1) \Leftrightarrow a_1 = \frac{g( 2m_2 - m_1) }{m_1 + 4m_2}
\]
Calculando o tempo:
\[
\Delta h_{\mathrm{rel}} = \frac{a_{\mathrm{rel}}}{2} \cdot t^2 \Leftrightarrow t = \sqrt{ \frac{ 2\Delta h_{\mathrm{rel} }}{ a_{\mathrm{rel}} }} = \sqrt{ \frac{ 2\Delta h (m_1 + 4m_2) }{3 g(2m_2-m_1) } }
\]