questão de função

por Ezeq Unwise Qui 02 Mar 2023, 17:40

a função f: [k, + [latex]\infty [/latex] [ [latex]\rightarrow [/latex] [latex]\mathbb{R}[/latex], em que k é um número real, definida por f(x) = x² - 2x, é uma função injetora. Define o menor valor possível para k

por DaoSeek Qui 02 Mar 2023, 18:34

Notamos que f(x) = (x-1)² - 1. Dessa forma, f(a+1) = a²-1 = f(-a+1)
Isso quer dizer que pra f ser injetora, não podemos ambos os pontos a+1 e -a+1 em seu domínio. Isso implica que k é maior ou igual a 1. Repare que k é justamente a abscissa do vértice do gráfico de f

por Ezeq Unwise Qui 02 Mar 2023, 21:06

DaoSeek escreveu:Notamos que f(x) = (x-1)² - 1. Dessa forma, f(a+1) = a²-1 = f(-a+1)
Isso quer dizer que pra f ser injetora, não podemos ambos os pontos a+1 e -a+1 em seu domínio. Isso implica que k é maior ou igual a 1. Repare que k é justamente a abscissa do vértice do gráfico de f

Saberia me explicar o fundamento dessa fórmula usada para descobrir o K:

Xv= -b/2.a

Nesse caso ficaria:

Xv = -(-2)/2.1
Xv = 1

por **Elcioschin** Qui 02 Mar 2023, 21:28

Sejam x' e x" as duas raízes de f(x)

x' = [- b - √(b² - 4.a.c)]/2.a ---> x' = - b/2.a - √(b² - 4.a.c)/2.a

x" = [- b + √(b² - 4.a.c)]/2.a --> x" = - b/2.a + √(b² - 4.a.c)/2.a

x' + x" = - b/2a - b/2.a ---> xV = - b/a

Note que xV é ponto médio do segmento de reta do eixo x, que que une as duas raízes.
Logo xV é a média aritmética das duas raízes:

xV = (x' + x")/2 ---> xV = (- b/a)/2 ---> xV = - b/2.a

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