ime conjuntos

Primeiro vamos analisar a condição \(W \neq \varnothing\).

Para que \(W\) seja  não vazio, devem exitir números reais y satisfazendo as desigualdades

\( 2k+1 \leq y \leq 3k-5\)

Repare que dependendo do valor de k, pode não existir nenhum numero y que as torna verdadeiras. Por exemplo, caso fosse k = 0 teríamos \(1 \leq y \leq -5\). Mas não existe nenhum número maior que 1 e menor que -5. Assim, para que \(W\) não seja vazio, precisamos que o número k seja tal que 2k+1 é menor ou igual a 3k -5:

\( 2k+1 \leq 3k-5 \implies \boxed{k \geq 6}\)

Agora vamos analisar a condição  \(W \subseteq W \cap S\).

Como \(W \subset S \subseteq W\) sempre é verdade, juntando isso com a condição dada temos que

\(W \subseteq W\cap S \subseteq W \implies W \cap S = W \implies W \subset S\)

Para que seja \(S \subset W\) devemos ter \(2k+1 \geq 3 \implies  \boxed{k \geq 1} \) e \(22 \geq 3k-5 \implies  \boxed{ k \leq 9}\).

Logo, juntando todas as condições, precisamos ter \( \boxed{6 \leq k \leq 9}\) para que \(W \neq \varnothing\) e \(W \subseteq W \cap S\).