Inversa de função do segundo grau

por Guilherme-Fernandes-1985 Seg 13 Fev 2023, 07:38

Seja f:[-3 , 3] ---> [-2 , 34] uma função definida por [latex]f(x)= x^{2}-6x+7[/latex] . Sabendo que a inversa dessa função é dada pela equação [latex]f^{-1}(x) = \sqrt{ax + b} - c[/latex] em que [latex]a, b [/latex] e [latex]c[/latex] são números inteiros, então é correto afirmar que o valor da expressão [latex]\frac{2a + 2b + c}{ab - c}[/latex] é um número

(A) inteiro negativo
(B) inteiro positivo menor que 5
(C) inteiro maior que 5
(D) racional não inteiro maior que 1
(E) racional não inteiro menor que 1

por math88 Seg 13 Fev 2023, 09:00

pra encontrar a inverso trocamos f(x)=y por x e vice versa:
$$x = y^2-6y+7$$
$$y^2-6y+7-x=0$$
$$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{6^2-4.1.(7-x)}}{2.1} = 3 \pm \sqrt{x+2}$$
Logo:
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x+2}+3$$
Assim a=1, b=2 e c=-3, portanto:
$$\frac{2a+2b+c}{ab-c} = \frac{3}{5}$$
Então a resposta é E.