Últimos dois dígitos de sequência numérica

1. Encontrar os últimos 2 dígitos da expressão numérica:
7x19x31x43.....x1999  (x = sinal de multiplicação). O resultado é 75. poderia resolver de uma forma mais simples (?).

7x(7 + 1x12)x(7 + 2x12)x(7 + 3x12)x ........... x(7 + 166x12) =

7x(166 + 1) + 7x(1x12 + 2x12 + 3x12 + ..... + 166x12) =

7x167 + 7x12x(1 + 2 + 3 + ..... 166) ---> PA entre parêntese =

1169 + 84x(1 + 166)x166/2 ---> Complete

O número é $$M = 7\times(7+1\times12)(7+2\times12)\dots(7+166\times12)$$
se isso é igual a $$100k+x$$, onde o x é um número entre 0 e 99, temos que o resto de x por 4 é igual ao resto de M por 4, mas vendo a multiplicação a cima da pra perceber que M é igual a $$12q+7^{167}$$ pra algum q, ou seja, o resto de M por 4 é igual ao resto de 7^167 por 4. Como 7 = 8-1, 7^167 = p.8+(-1)^167 pra algum p, assim 7^167 = (p-1).8+4+3 logo o resto de x por 4 é 3. Além disso, temos que o resto de x por 25 é da mesma forma igual ao resto de M por 25, como o mdc de 12 e 25 é 1 algum dos 25 primeiros elementos da multiplicação acima tem que ser multiplo de 25(vai ser o 175 = 7+12.14), então x é multiplo de 25. Assim x é igual a 25,50 ou 75, como 25 tem resto 1 por 4, 50 resto 2 por 4 e 75 resto 3 por 4, x só pode ser 75.