Últimos Dígitos

por Matemathiago Dom 06 Set 2015, 00:50

Quais os 3 últimos dígitos da conta: 203x2011x2009x2007x2005x...5x3x1?

Bem, devido ao fato de multiplicar o 3, eu sei que a soma de todos os dígitos deve ser múltiplos de 3! E também que o último dígito (das unidades) vale 5, pois como o número é múltiplo de 5, deveria terminar com 5 ou 0, e como o número será ímpar, deve terminar com 5! Não sei mais como resolver, se puderem me ajudar... Agradeço desde já!

por **Carlos Adir** Dom 06 Set 2015, 09:05

$\\ \mathrm{S=2013 \times 2011 \times 2009 \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1}$

Tentei fazer por aritmética modular, mas ficou muito extenso e então lidei com primos de 3 algarismos e não foi uma boa ideia.
A resposta é 375 como indica no wolfram:
Wolfram

Tentei pensar em alguma lógica, mas estou meio sem tempo agora. Mais tarde procuro uma melhor.

por Matemathiago Seg 07 Set 2015, 14:12

Eu não consegui resolver por aritmética modular!

por **Carlos Adir** Seg 07 Set 2015, 20:32

Também não achei uma maneira "elegante" de resolver. Tentei usar as relaçoes que frequentemente tem-se números multiplos de 7 11 e 13, cujo produto dá 1001.
Mas não deu, não conheço outra maneira.

por Matemathiago Seg 07 Set 2015, 22:31

Certamente a solução mais usual seria através de aritmética modular, mas como acabei de aprender esse conteúdo, ainda não consigo colocar em prática corretamente!!

Caso consiga resolver através de aritmética modular e puder postar, serei muito grato!

por **Elcioschin** Seg 07 Set 2015, 23:04

Quem sabe assim:

2013.2012.2011.2010.2009.2008 ....................... .5.4.3.2.1 = 2013!

2012.2010.2008. ......... 4.2 = (2006.2).(2005.2).(2004.2). ........... (2.2).(1.2) = (2006.2005.2204. .... 2.1).2²⁰⁰⁶ = 2006!.2²⁰⁰⁶

A expressão original vale 2013! - 2006!.2²⁰⁰⁶= (2013.2012.2011.2010.2009.2008.2207).2206! - 2006!.2²⁰⁰⁶

Tentem a partir dai, colocando 2006! em evidência