Combinatória

São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?
Resp (n-1)!/2

Para formar um polígono qualquer partimos de um vértice inicial, escolhemos um segundo vértice e ligamos ambos. Do segundo vértice escolhemos um terceiro vértice e ligamos ambos. O processo continua até que utilizemos todos os pontos disponíveis.

Suponha que comecei no ponto A. Devo escolher um dentre (n - 1) pontos restantes, em seguida um dentre (n - 2) restantes, em seguida um dentre (n - 3) restantes, ..., em seguida um dentre 2 restantes e, finalmente, resta opção única.

Pelo princípio multiplicativo, posso formar o polígono de (n - 1)(n - 2)(n - 3)...2.1 = (n - 1)! maneiras.

Suponha que eu estivesse montando um quadrilátero a partir dos pontos A, B, C e D. Repare que realizar o trajeto BACD não difere de realizar o trajeto DCAB, isto é, cada polígono está sendo contando duas vezes.

Consertando: (n - 1)!/2

Olá, aproveitando a dúvida, gostaria de saber o porquê de não ter considerado a escolha inicial de "n" pontos. No início, temos n pontos a serem escolhidos para iniciar o polígono. Então, achei que teria que fazer uma combinação C(n,1) x C(n-1,1) x (...) 

Obrigada!

olivettimp escreveu:Olá, aproveitando a dúvida, gostaria de saber o porquê de não ter considerado a escolha inicial de "n" pontos. No início, temos n pontos a serem escolhidos para iniciar o polígono. Então, achei que teria que fazer uma combinação C(n,1) x C(n-1,1) x (...) 

Obrigada!

Acredito que venha da ideia de que é um círculo, ou seja, partir de um ponto e fazer todos os caminhos possíveis é o mesmo que partir de outro, já que por rotação esses dois pontos na verdade são a mesma coisa. Desse raciocínio decorre o porquê de não multiplicarmos por n.