geometria espacial

por rhannastudy Seg 25 Jul 2022, 21:20

Com vistas a construir dois recipientes cônicos com o mínimo de perdas, uma indústria de embalagens usa um molde circular de raio 15 cm e o divide em dois setores circulares cujos ângulos centrais são 270º e 90º respectivamente, conforme as figuras a seguir.

A razão entre a capacidade do primeiro recipiente e do segundo é de: a) 3[latex]\sqrt{}[/latex] 105/5 . b) [latex]\sqrt{}[/latex]105/15 . c) 3 . d) 1/3 . e) 1/9
resposta letra A. Alguém poderia passo-a-passo me ajudar como fazer?

por Victor Giovanni Seg 25 Jul 2022, 21:32

rhannastudy escreveu:Com vistas a construir dois recipientes cônicos com o mínimo de perdas, uma indústria de embalagens usa um molde circular de raio 15 cm e o divide em dois setores circulares cujos ângulos centrais são 270º e 90º respectivamente, conforme as figuras a seguir.

A razão entre a capacidade do primeiro recipiente e do segundo é de: a) 3[latex]\sqrt{}[/latex] 105/5 . b) [latex]\sqrt{}[/latex]105/15 . c) 3 . d) 1/3 . e) 1/9
resposta letra A. Alguém poderia passo-a-passo me ajudar como fazer?

Não achei a letra A, achei a letra C, está aqui o meu raciocínio, se estiver errado peço perdão .A área de um cone é dada por área da base x altura, então a área da base do primeiro recipiente será π²-( π²/4)= 3 π²/4 já a altura eu assumirei que é a mesma para ambos já que ele não fala sobre, logo chamarei de H, no 2° recipiente a área da base é é π²/4 (que foi justamente a área que foi tirada do 1° recipiente). Logo a razão das áreas entre o recipiente 1 e o 2 é (3π²/4)xH/ (π²/4)xH, o H, o π² e o 4 irão se cortar, só restando 3/1= 3

por rhannastudy Ter 26 Jul 2022, 11:09

muito obrigada! também cheguei a letra C, mas infelizmente a resposta da prova da faculdade campo real é letra A.

por **petras** Ter 26 Jul 2022, 15:05

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por **petras** Ter 26 Jul 2022, 15:06

As alturas não são iguais e precisam ser calculadas assim como os raios dos cones

[latex]\\2 \pi r - 360^o\\ C_{270} -270^o\implies C_{270^o} = \frac{270 .30.\pi}{360} =\underline{\frac{45\pi}{2}}\\ \frac{45\pi}{2} = 2\pi r \implies r = \frac{45}{4} \\h^2 = 15^2 -(\frac{45}{4})^2= \frac{1575}{16} \implies h = \frac{15\sqrt7}{4}\\ 2 \pi r - 360^o\\ C_{90}=90^o \implies C_{90^o} = \frac{90 .30.\pi}{360} =\underline{\frac{15\pi}{2}}\\ \frac{15\pi}{2} = 2\pi r' \implies r' = \frac{15}{4} \\h'^2 = 15^2 -(\frac{15}{4})^2= \frac{3375}{16} \implies h' = \frac{15\sqrt{15}}{4}\\ \frac{V}{V'} = \frac{\frac{\pi r^2.h}{3}}{\frac{\pi r'^2h'}{3}}= \frac{(\frac{45\pi}{2})^2(\frac{15\sqrt{7}}{4})}{(\frac{15\pi}{2})^2.\frac{15\sqrt{15}} {4}}=\\ \frac{9\sqrt7}{\sqrt15} =\boxed{\frac{3\sqrt{105}}{5}} [/latex]

por clareou.med Qua 30 Ago 2023, 11:07

Não entendi pq houve essa relação ao quadrado com a altura. Poderia me explicar?

por **Elcioschin** Qua 30 Ago 2023, 12:01

Seja um cone com raio da base r, altura h e geratriz g

No triângulo retângulo de hipotenusa g e catetos r, h ---> h² = g² - r²

por clareou.med Sex 01 Set 2023, 11:18

Elcioschin escreveu:Seja um cone com raio da base r, altura h e geratriz g

No triângulo retângulo de hipotenusa g e catetos r, h ---> h² = g² - r²

Ahh, entendi, obrigada!
Mas, por que precisou descobrir o comprimento da circunferência para descobrir a geratriz?
E, por que a geratriz não é do mesmo tamanho da altura?

por **Elcioschin** Sex 01 Set 2023, 11:40

A geratriz de cada cone corresponde ao raio dos setores g = R = 15 cm

O arco de cada setor corresponde ao perímetro do círculo da base, de raio r:

Arco maior (radianos) = 2.pi.(270º/360º)

Arco menor (radianos) = 2.pi.(90º/360º)

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