(Ufrj 2001) Geometria Plana

por Tera Qua 20 Jul 2022, 01:59

(Ufrj 2001) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo WXYZ, como mostra a figura.

Imagem:
https://www.tutorbrasil.com.br/forum/download/file.php?id=4337

Sabendo que AB=2 e AD=1, determine o ângulo [latex]\theta [/latex] para que a área de WXYZ seja a maior possível.

Resposta: [latex]\theta = 45^{\circ}[/latex]

por **petras** Qua 20 Jul 2022, 09:34

[latex]WA=AD\sin\theta\\ AX=AB\cos\theta\\ \therefore WX=AD\sin\theta+AB\cos\theta\\ Analogamente: Y=AB\sin\theta+BC\cos\theta\\ S_{WXYZ}=WX.XY=(AD\sin\theta+AB\cos\theta)(AB\sin\theta+BC\cos\theta)\\ BC = AD \implies S={\color{red}AB.AD}\sin^2\theta+AD^2\underbrace{\sin\theta\cos\theta}+AB^2\underbrace{\sin\theta\cos\theta}+{\color{red}AB.AD}\cos^2\theta\implies\\(\frac{sen2\theta}{2} = sen\theta cos\theta)\\ S=AB.AD(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+(AB^2+AD^2)\frac{\sin2\theta}{2}=\\ S=\underbrace{AB.AD}_{K}+\underbrace{\frac{(AB^2+AD^2)}{2}}_{L}\sin2\theta= K+L\sin2\theta(K,L=constante)\\S_{Max} \implies sen_{Max}=1\\ \therefore 2\theta=\frac{\pi}{2} \implies \boxed{\theta=45^\circ}\color{green}\checkmark[/latex]
(Soluçõa:fabit)

por Tera Qui 21 Jul 2022, 04:14

vlw!!

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