álgebra linear 1 - subespaço vetorial

O conjunto S = {[latex](x,y) | y = -x[/latex]} munido das operações usuais de adição e multiplicação é um subespaço vetorial?

Eu acho que não, porque se por exemplo eu pegar um vetor u = (1,1) e que -x = y, então -1 teria que ser igual a 1, o que é falso.

Vejamos os passos para concluir se é ou não um SEV.

I) Deve conter o vetor nulo.

II) Deve ser fechado na soma.

III) Deve ser fechado na multiplicação por escalar.

i) Contem o vetor nulo, a verificação é trivial.

ii) Tome v = (a, - a) e w = (b, - b), a soma é r (assumindo a soma usual):
r = (a + b, - a - b)

Logo, a segunda coordenada é o oposto da primeira. Isso significa que o conjunto é fechado na soma.

iii) Se v = (x, -x) está no conjunto, então w = (kx, - kx) também está porque a segunda coordenada é o oposto da primeira.

Concluímos que o conjunto dado é um subespaço vetorial.