tipo de cônica

verifique que tipo de cônica representa a equação :

5x²-6xy+5y²-8=0

Temos:

Teorema: A equação geral do segundo grau,

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

é do tipo parabólico, elíptico ou hiperbólico, conforme seu indicador, I = B² - 4AC, seja zero, negativo ou positivo.

No nosso caso temos:

5x² - 6xy + 5y² - 8 = 0

A = 5

B = - 6

C = 5

D = 0

E = 0

F = - 8

I = ( - 6 )² - 4*5*5 = 36 - 100 => I = - 64 -> I < 0 -> equação do tipo elíptico.

amigo josé carlos podia me ensinar, I = B² - 4AC, seja zero, negativo ou positivo.

substituindo ficou:

(x')²/4+(y')²=1

Olá Maria,

Hoje não tenho mais tempo, depois do feriado mando notícias.

Um abraço.

Desconhecia esse teorema. Muito bom Jose Carlos!!!!

Continuando....

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Transformação por rotação de eixos:

x = x'*cos t - y'*sen t

y = x'*sen t + y'*cos t

desenvolvendo temos:

A'*x'² + B'*x'y' + C'*y'² + D'*x' + E*y' + F = 0

onde:

A' = A*cos² t + B*sen t*cos t + C*sen² t

B' = 2*( C - A )*sen t*cos t + B*( cos² t - sen² t )

C' = *sen² t - B sen t*cos t + C*cos² t

D' = D*cos t + E*sen t

E' = E*cos t - D*sen t

F' = F

para que o termo em ( xy ) desapareça devemos ter:

B = 0

2*( C - A )*sen t*cos t + B*( cos² t - sen² t ) = 0

se A diferente de C -> tg 2t = B/(A-C)

se A = C-> t = 45° (nosso caso )

então:

5x² - 6xy + 5y² - 8 = 0

x = x1*cos 45° - y'*sen 45° -> x = (\/2 /2 )*x' - (\/2 /2 )*y'

y = x'*sen 45° + y'*cos 45° -> y = ( \/2 /2 )*x' + (\/2 /2)*y'

daí:

5*[ (\/2 /2)*x' - (\/2 /2)*y' ]² - 6*[(\/2 /2)*x' - (\/2 /2)*y' ]*[(\/2 /2 )*x' - (\/2 /2)*y' ] + 5*[(\/2 /2)*x' + (\/2 /2)*y' ] - 8 = 0

5*[(1/2)*x'²+(1/2)*y'²-2*(\/2 /2)*(\/2 /2)*x'*y' ] - 6*[(1/2)*x'² - (1/2)*y'² ] +

+ 5*[(1/2)*x'² + (1/2)*y'² + 2*(\/2 /2)*(\/2 /2)*x'*y'] - 8 = 0

5*x'² - 3*x'² + 5*y'² + 3*y'² - 8 = 0

2*x'² + 8*y'² - 8 = 0

2*x'² + 8*y'² = 8

dividindo ambos os membros por 8:

x'²
--- + y'² = 1
4

Fonte: Geometria Analítica/Charles H. Lehmann.

obrigado amigo,esta fonte que citou é um livro? caso seja irei comprar

Olá Maria,

É um livro sim mas não sei se irá encontra-lo pois é de 1974 (eu sou velhinho...rsss )

Um abraço.

faltou te perguntar quando I positivo ou= só responder não precisa fazer , já aprendi o professor é bom

Se I = 0 -> equação do tipo parabólico

se I < 0 -> equação do tipo elíptico

se I > 0 -> equação do tipo hiperbólico