Reta tangente à elipse

A reta r é tangente à elipse de equação 4x² + 9y² = 72 no ponto P(-3,-2). Qual é a área do triângulo formado por r e pelos eixos coordenados?

Podem me ajudar?

4x² + 9y² = 72 --> 9y² = 72 - 4x² -->18y * y' = -8x --> onde y' = dy/dx

y' = - 4x/9y --> P(-3,-2) --> y' = 12/-18 = -12/18 = - 2/3

y = mx + n --> y = -2x/3 + n --> -2 = 2*3/3 + n --> n = -4 --> y = -2x/3 - 4

--> 0 = -2x/3 - 4 --> x = - 6

A = 6*4/2 = 12 u.a.

Confere?

Aqui confere!

Usou qual software para este desenho Iago?

Olá, JoaoGabriel.

Nesse desenho utilizei o geogebra.

Olá João e Iago6,

Eu não sei derivar e parti para um método bem mais longo, no final aproveitei a solução e fiquei com uma dúvida.

- reta tangente é da forma:

( y + 2 ) = m*( x + 3 ) -> y = mx + 3m - 2

substituí o valor de y na equação da elipse:

4x² + 9*( mx + 3m - 2 )² = 72

4x² + 9*( m²x² + 6m²x - 4mx + 9m² - 12m + 4 + 72

4x² + 9m²x + 54m² - 36mx + 81m² - 106m - 36 = 0

( 4 + 9m )x² + ( 54m² - 36 )x + ( 81m² - 106m - 36 ) = 0

devemos ter ∆= 0

( 54m² - 36m )² - [4*( 4 + 9m² )*( 81m² - 106m - 36 ) ] = 0

5832m^4 - 7704m³ + 1696m = 0

729m^4 - 963m³ + 212m = 0

m = 0 ( não convém )

729m³ - 963m² + 212 = 0

aqui eu empaquei nas outras 3 raízes e então usei a que foi encontrada -> m = - 2/3

Isto significa que as outras duas raízes são complexas?

m = - 2/3

a equação da reta fica:

y = ( - 2/3 )x - 4.



Obrigado.

Em 729m³ - 963m² + 212 = 0, a equação admite como raíz 2/3 e não - 2/3 :/

E as outras raízes são reais e podem ser determinadas por Briott-Ruffini, porém me pouparei deste trabalho! rsrs Veja:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=729m%C2%B3%20-%20963m%C2%B2%20%2B%20212%20%3D%200&t=crmtb01

4x²+9y²=72---->(4x²/9)+y²=8----->(4x²/9)+(mx+3m-2)²=8

(4x²/9)+m²x²+9m²+4+6m²x-4mx-12m-8=0

4x²+9m²x²+81m²+54m²x-36mx-108m-36=0

(4+9m²)x²+(54m²-36m)x+81m²-108-36=0

x=-(54m²-36m)±√(54m²-36m)²-4(4+9m²)(81m²-108m-36)=0

2916m^4-3888m³+1296m²-1296m²-2916m^4+3888m³+1728m+1296m²+576=0

1296m²+1728m+576=0

36m²+48m+16=0

18m²+24m+8=0

9m²+12m+4=0

m=(-12±√144-144)/2.9

m=-12+0/18 = -2/3

m'=-12-0/18 = -2/3

-2=-2.-3/3+n

n=-4

y=(-2x/3)-4

0=(-2x/3)-4

x=-6

y=(-2.0/3)-4

y=-4

b.h/2---->-6.-4/2=12