Enem - Parcelas

Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é


A)



B)



C)



D)



E)

Gabarito :

Boa noite, poderiam me explicar essa questão, não entendi o porquê de ser a alternativa "A".

O valor da parcela é P, então temos:

Sexta parcela: P

Sétima parcela paga um mês antes:
P/(1 +i/100)

Oitava parcela paga dois meses antes:
P/(1 + i/100)²

Total:
P + P/(1 +i/100) + P/(1 + i/100)²

Esse é o tipo de questão mais recorrente no fórum na área da matemática financeira e por incrível que pareça é muito simples. A ideia é a que segue:

As parcela pagas antecipadamente contém juros que devemos remover. Por exemplo, a sétima parcela contém 1 mês adicional de juros, pois pagaremos com 1 mês de antecedência. De maneira similar, a oitava parcela contém 2 meses a mais de juros porque estamos pagando com 2 meses de antecipação.

Dessa forma, devemos remover 1 mês de juros da sétima parcela e 2 meses da oitava parcela. Veja que da fórmula do montante nos juros compostos, ao aplicarmos um capital C em n meses na taxa i temos:
M = C.(1 + i)ⁿ

e portanto:
C = M/(1 + i)ⁿ

Dessa forma, para retirar o juros do valor da parcela devemos dividi-la por (1 + i)ⁿ em que n é o tempo de antecipação.

É como se cada parcela fosse um montante porque cada parcela é a soma de juros e um certo capital.

O n é o tempo de antecipação, que é 1 para a sétima e 2 para a oitava parcela.

Como assim se fosse quitar sem pagar na 6 parcela?

Se a pessoa não quitasse a dívida, continuasse pagando normalmente as parcelas  o tempo seria , por exemplo, na 7° parcela, n = 7? ( 7 meses p/ pagar) (já que todo mês ele paga uma parcela com juros aplicados no valor da parcela anterior). 

Toda parcela é considerada um montante então? ( um certo capital acrescentado de juros)

Achei que quando se paga uma parcela, aquilo seria o capital inicial/ valor inicial "investido"

Se a pessoa não quitasse a dívida, continuasse pagando normalmente as parcelas  o tempo seria , por exemplo, na 7° parcela, n = 7? ( 7 meses p/ pagar) (já que todo mês ele paga uma parcela com juros aplicados no valor da parcela anterior). 

Se ele resolvesse quitar no ato de pagar a sétima parcela, então pagaria P da sétima parcela e P/(1+ i/100) referente a antecipação da oitava parcela.

Se ele resolvesse quitar no ato de pagar a 3ª parcela, ele pagaria:
P + P/(1+ i/100) + P/(1+ i/100)² + P/(1+ i/100)³ + P/(1+ i/100)⁴ + P/(1+ i/100)⁵.

E assim por diante, recomendo que você treine isso.

Achei que quando se paga uma parcela, aquilo seria o capital inicial/ valor inicial "investido"

Não é assim porque estaria cobrando mais juros do que se deve. Por exemplo, depois que você paga a primeira parcela a sua dívida diminui e da forma que você mencionou continuamos cobrando juros em cima da quantia da primeira parcela já paga.

Toda parcela é considerada um montante então? ( um certo capital acrescentado de juros)

Sim.

Se ele resolvesse quitar no ato de pagar a sétima parcela, então pagaria P da sétima parcela e P/(1+ i/100) referente a antecipação da oitava parcela.

Se ele resolvesse quitar no ato de pagar a 3ª parcela, ele pagaria:
P + P/(1+ i/100) + P/(1+ i/100)² + P/(1+ i/100)³ + P/(1+ i/100)⁴ + P/(1+ i/100)⁵.

Vou treinar mais isso, muito obrigada pela ajuda Rory, desculpa pelas dúvidas bestas.