Soluções reais de um sistema.

Determine as soluções reais do sistema abaixo:

Resp.: Sem gabarito.

Bomm dia gente!
Gostaria de saber como posso resolver ela... pois eu fatorei o primeiro em (x+y)(x²-xy+y²) = 1 e o segundo em y(x+y)² = 2
Porém, quando fui substituir, cheguei a uma expressão bem grande e n saí dela desde então...

Vlww!

Bom dia!

Vou deixar uma ideia de resolução aqui, pode ser?

Você chegou em duas expressões: (i) (x + y)(x² - xy + y²) = 1 e (ii) y(x + y)² = 2. Multiplique (i) por 2 e iguale a (ii). Ter-se-á: 2(x + y)(x² - xy + y²) = y(x + y)². Divida por (x + y) em ambos os lados: 2(x² - xy + y²) = y(x + y) ⇒ 2x² - 2xy + 2y² = xy + y² ⇒ y² - 3xy + 2x² = 0.

Agora, resolva essa equação para a variável y. Você encontrará duas relações entre y e x. Substitua cada uma delas em (i) (pode ser em (ii) também, mas (i) é mais fácil) e haverá duas respostas.

Apenas uma observação: quando se divide a equação por (x + y), estamos considerando que x ≠ y. Posteriormente, ao resolver a equação, você encontrará x = y. Esse resultado, encontrado dessa forma, teoricamente, não é válido. Entretanto, ele apresenta solução. O certo seria que, ao dividirmos a equação por (x + y), fizermos uma ressalva que isso não ocorre para x = y e substituirmos essa relação em alguma das expressões iniciais para ver se x = y é solução.


Não tenho certeza se é isso de fato. Sem o gabarito é difícil ter certeza. Se eu estiver errado em alguma coisa, por favor, me corrijam. Desculpe não fazer o desenvolvimento completo do exercício, estou às pressas aqui.

Existe um bizu que é deixar as expressões em um mesmo grau.

Por exemplo, na primeira equação eu tenho algo no lado esquerdo no terceiro grau e no lado direito algo do grau zero.

Na segunda equação, eu tenho algo do terceiro grau e no lado direito algo do grau zero.

Deixando equações com o lado esquerdo e direito do mesmo grau, deixo elas geralmente mais fáceis de se resolver.

Substituindo o 2 do lado direito da segunda por 2(x^3 + y^3) teremos:
[latex]x^2 y+2xy^2 + y^3 = 2x^3 + 2y^3[/latex]


[latex]x^2 y+2xy^2 = 2x^3 + y^3[/latex]


Veja que agora ambos os lados tem o mesmo grau. Como y é diferente de zero, dividindo ambos lados por y^3 teremos:

[latex]\dfrac{x^2}{y^2}+2\cdot\dfrac{x}{y} = 2\cdot \dfrac{x^3}{y^3} + 1[/latex]


Seja k = x/y, teremos que:

[latex]k^2+2k = 2k^3 + 1[/latex]

Agora temos que achar as raízes de um polinômio.


[latex]2k^3-k^2-2k + 1 = 0[/latex]



Veja que 1 é raiz, fatorando:


[latex]2k^3-k^2-2k + 1 =(k-1)(k+1)(2k-1)= 0[/latex]


Agora é fazer os três casos e voltar nas equações para ver se são soluções realmente.

Mais uma ideia de resolução para a coleção:

[latex]yx^2 +2xy^2+y^3 =2 \implies x\cdot(yx^2 +2xy^2+y^3) =x \cdot(2) \implies

yx^3 + 2x^2y^2 +xy^3 =2x\text{ }, \text{ }\text{ }\text{ }x^3 = 1 - y^3 \implies y(1-y^3) + 2x^2y^2 +xy^3 =2x \implies

(2y^2)x^2 +(y^3-2)x +y(1-y^3) \implies x = \frac{-(y^3-2) \pm \sqrt{(y^3 -2)^2 -4\cdot 2y^2 \cdot y(1-y^3)}}{4y^2} \implies

x = \frac{-(y^3-2) \pm \sqrt{9y^6 -12y^3 +4}}{4y^2} \implies x = \frac{-(y^3-2) \pm \sqrt{(3y^3-2)^2}}{4y^2} \implies

x = \frac{-(y^3-2) \pm (3y^3 -2)}{4y^2} \implies x= \frac{-y^3 +1}{y^2}, \text{ }y \neq 0 \text{ ou } x = \frac{y}{2}, \text{ } y \neq 0[/latex]

Observe que :

[latex]x= \frac{-y^3 +1}{y^2} \implies xy^2 = 1- y^3 , \text{ } 1-y^3 = x^3 \implies

x^3 = xy^2 \implies x(x-y)(x+y) = 0, \text{ }y \neq 0[/latex]

Assim, se existem soluções, elas satisfazem:

[latex]x = 0 \text{ } \text{ ou } \text{ } 2x = y \text{ }\text{ ou } \text{ }x = y \text{ }\text{ ou } \text{ } x = -y[/latex]

Bons estudos a todos

Opa gente!
Boa tarde!

Brigadão pelas resoluções!
Consegui sacar perfeitamente!

Vlww!